음수의 제곱근

고등학교에 들어오면 다루는 수체계가 복소수까지 넓어진다. 실수에서 복소수로 넓혀가는 순간은 어쩌면 혁명에 가까운 순간이라고 할 수 있다. 차원이 달라지는 순간이니까 말이다. 실수에서 방정식 $x^2 =-1$의 해는 존재하지 않는다. 이렇게 음수의 제곱근을 새로운 수로 받아들이고자 만들낸 것이 바로 허수이다. 그래서 흔히 교과서에서 허수단위 $i$를 $\sqrt{-1}=i$라고 쓰는데 아마도 $-1$의 제곱근이 둘 $+-i$이므로 이를 구별하기 위해 그렇게 쓴 듯하다. 그러나 $\sqrt{-1}=-i$라고 해도 별다른 문제가 일어나지 않는다. 그러므로 조금 애매한 표현이라고 할 수 있다.

$1=\sqrt{1} =\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=i\cdot i=-1$에서 잘못된 곳은 어디일까? $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$는 옳은가? 와 같은 문제들로 아이들을 어지럽게 할 까닭이 없다고 생각한다. 그냥 제곱근 안에는 음이 아닌 수만 쓴다고 하고 음수의 제곱근은 바로 $i$를 가져다 쓰는 것이 좋겠다. $\sqrt[4]{-1}$과 같은 표현은 쓰지 않듯이 말이다. 더불어 고등학교 교육과정에 복소수 계산만 다루고 말 것이 아니라 복소평면까지 나아가는 것이 좋겠다. 복소수가 가진 방향이야 말로 혁명의 알맹이니 말이다. 복소수를 평면에 나타내어 알아보자.

복소평면

실수축과 허수축을 가지는 복소평면에 복소수 $a+bi$를 그림과 같이 화살표로 나타내기로 하자. 그러면 복소수는 크기와 방향을 같이 가진 평면벡터를 나타낼 수 있게 된다. 실수가 가진 순서는 사라지지만 방향이라는 중요한 성질을 가지게 된다.

임의의 두 실수 $x,y$에 대하여 $x-y \in \mathbb{R}$이므로 $x-y>0$, $x-y=0$, $x-y<0$이다. 따라서 $x>y$, $x=y$, $x<y$이므로 실수는 순서가 아주 잘 매겨진 집합이다.

복소수는 실수처럼 임의의 두 복소수를 순서 매길 수는 없다. 순서가 사라지고 만다. 하지만 순서가 없다고 크기가 없는 것은 아니다. 복소수는 화살표의 길이를 크기로 한다. 방향은 편각으로 나타낸다.  편각은 양의 실수 축과 이루는 각이다.

여기서 복소수를 실수부분과 허수부분으로 나타내지 않고 크기(absolute value)와 편각(argument)을 써서 나타내는 극형식까지 생각해 볼 수도 있다.

$|z|=\sqrt{x^2 +y^2}=r$(absolute value)
$arg(z)=\phi$(argument)
복소수의 극형식 $z=r(\cos\phi +i  \sin\phi)$

$z=(r, \phi)$로 나타내는 것을 극좌표(polar coordinate)라 부른다.

이제 복소수의 연산들이 어떤 뜻을 가지게 되는가 알아보자. 복소수의 연산을 복소평면에 나타내 보면 벡터의 연산과 같음을 알 수 있다.

복소수의 연산

복소수의 덧셈 $(a+bi)+(c+di)=(a+c) +(b+d)i$은 그림과 같이 벡터의 덧셈과 같다.

복소수의 곱셈 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd) +(bc+ad)i$를 극형식으로 나타내면

$r_1 (\cos \theta_1 +i \sin\theta_1)r_2 (\cos \theta_2 +i \sin\theta_2)$

$=r_1 r_2(\cos \theta_1 \cos \theta_2- \sin\theta_1 \sin\theta_2)+i(\sin\theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin\theta_2)$

$=r_1 r_2{\cos (\theta_1 +\theta_2)+i\sin (\theta_1 + \theta_2)}$

 

참고
위키디피아 : http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
네이버캐스트 : http://navercast.naver.com