점, 직선, 평면의 위치 관계

수학 이야기/중학교 수학 2021. 10. 3. 11:25
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직선은 점을 일정한 방향으로 움직여서 만든다. 따라서 직선을 자른 끝은 점이다. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 단 하나뿐이다. 평면은 직선을 끌어서 만든다. 평면을 자른 끝은 직선이다. 당연해 보이는 약속은 자칫 그냥 지나치기 쉬운데 머릿속에 반드시 잘 정리해 두어야 한다.

점, 직선, 평면의 위치 관계

점, 직선, 평면을 짝짓는 관계는 모두 6가지가 있다. 각각의 경우는 어떤 위치 관계를 가질 수 있는지 분명하게 이해해야 한다. 정리해 보자. 

점과 점

점은 부분이 없으니 두 점은 서로 같거나 다르다. '서로 다른 두 점'과 '두 점'은 다른 표현임을 알아두어야 한다. 그냥 두 점이라고 말할 때는 두 점이 서로 같은 경우도 포함하고 있다.

점과 직선

점 $A$는 직선 $l$ 위에 있다. 점 $B$는 직선 $l$ 위에 있지 않다. 직선 밖에 있다는 표현은 잘 쓰지 않는다. 교과서는 대부분 '위에 있지 않다'라고 쓴다. 아무래도 직선 '밖'이 있으면 직선 '안'이 있어야 하는데 뭔가 애매하기 때문에 그런 것 같은데 뭐 밖에 있다고 말해도 큰 문제는 없다고 생각한다. 

점과 평면

점과 직선의 위치 관계와 다르지 않다. 점 $A$는 평면 $P$ 위에 있다. 점 $B$는 평면 $P$ 위에 있지 않다. 

직선과 직선

같은 평면에 있을 때, 세 가지 경우와 다른 평면에 있을 때 한 가지 모두 네 가지 경우가 있다.

1) 한 점에서 만난다.

한 점에서 만난다.

그림에서 두 직선 $l$과 $m$은 점 $A$에서 만난다고 한다. 만나는 점은 교점이라고 부른다.

2) 일치한다.

일치한다.

 

두 점을 공유하는 두 직선은 완전하게 포개어진다. 따라서 일치하는 두 직선은 같은 직선이므로 굳이 생각하지 않아도 되는데 중학교 과정에선 구별해 두었다.

3) 평행하다.

만나지 않는다.

 

두 직선이 서로 만나지 않을 때 두 직선 $l$과 $m$은 서로 평행하다고 하고 기호로 $l // m$으로 적는다.

다른 평면에 있을 때는 한 가지 경우가 있다.

4) 꼬인 위치에 있다.

꼬인 위치

 

두 직선이 만나지 않고 평행하지도 않다면 꼬인 위치에 있다고 한다.

공간에 있는 두 직선이 같은 평면에 있는지 확인해야 할 때가 있다. 이때 두 직선의 위치 관계를 확인하면 쉽게 알 수 있다. 참고로 한 직선을 품는 평면은 무수히 많다. 따라서 평면을 결정하려면 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 있어야 한다. 직선도 서로 다른 두 점이 있어야 하나가 결정된다. 따라서 평면은 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점이 있을 때 결정된다고 할 수 있다.

직선과 평면

세 가지 경우가 있다.

1) 한 점에서 만난다.

한 점에서 만난다.

 

평면이 직선을 자르고 있으므로 자르는 지점에 교점이 하나 있다.

2) 포함된다.

직선 위의 모든 점이 평면 위에 있다.

직선 $m$은 평면 $P$ 위에 놓여 있다고 한다. 

3) 평행하다.

만나지 않는다.

 

기호로 $n//P$로 적는다.

평면과 평면

1) 한 직선에서 만난다.

평면과 평면이 만나면 반드시 교선이 생긴다. 한 점에서 만나는 일은 벌어지지 않는다. 종이를 접으면 선이 생긴다고 생각해야 한다.

2) 일치한다.

직선과 마찬가지로 두 평면이 완전하게 포개어 지면 두 평면은 같은 평면이므로 하나로 봐야 한다.

3) 평행하다.

두 평면이 만나지 않을 때도 두 평면 $P$와 $Q$가 평행하다고 하고 기호로 $P//Q$로 적는다.

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