수학과 사는 이야기
수학 이야기
중학수학3
제곱근 작도하기
넓이가 $a$인 정사각형의 한 변의 길이는 $\sqrt{a}$이다. 이제 제곱근 $a$를 작도하는 방법을 알아보자. 기하평균 작도하기 가로와 세로의 길이가 각각 $a,\;b$인 직사각형은 넓이가 $ab$이다. 넓이가 $ab$인 정사각형은 아래와 같이 작도한다. 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB}=a,\;\overline{BC}=b$라고 하자. 1. 점 $B$를 중심으로 반지름이 $\overline{BC}$인 원을 그리고 직선 $\overline{AB}$와 교점 $E$를 찾는다. 2. 선분 $\overline{AB}$의 중점 $O$를 찾는다. 3. 점 $O$를 중심으로 반지름이 $\overline{OA}$인 원을 그린다. 4. 점 $B$에서 직선 $AB$와 수직인 직선을 긋고 3에서 그린 원..
중학수학3
제곱근의 곱셈과 나눗셈
"$\sqrt 2$는 어떤 수인가요?" "$1.414$입니다." "그러면 $\sqrt 2$는 유리수인가요?" "아니오. 무리수입니다." "다시 $\sqrt 2$는 어떤 수인가요?" "$???$" "2의 제곱근과 제곱근 2는 같은 말인가요?" "$???$" 너무나 당연해 보이는 걸 설명하는 일이 어려울 때가 많다. $$\sqrt2 \times \sqrt 3 =\sqrt {2\times3} $$ 왜일까? 좌변과 우변이 다른 점을 말해보자. 좌변은 제곱근 2와 제곱근 3을 곱한 것이다. 우변은 2와 3을 곱한 6의 양의 제곱근이다. 다시 말하면 제곱근을 먼저 구하고 곱셈을 한 것은 곱셈을 먼저 하고 제곱근을 구한 것과 같음을 보여야 한다. 무리수도 수이므로 유리수와 마찬가지로 곱셈에서 교환법칙과 결합법칙이 그..
수학이야기
2023 수학 분야 대학 순위
얼마나 공신력이 있는가는 잘 모른다. 그냥 우연히 검색하다가 찾았다. 수학 분야 대학 순위 1위는 예상대로 MIT인데 2위가 캠브리지다. 스탠포드도 생각보다 순위가 높다. 우리나라 대학은 조금 더 아래로 내려가야 보인다. 카이스트가 가장 먼저 나온다. 42위, 뒤를 이어 서울대가 46위. 포스텍은 91위, 연대와 고대는 128위에 이름을 올렸다. 어찌 보면 생각보다 순위가 높다. 우리나라 자연계 인재는 대부분 의대로 가고 있는 현실을 생각하면 카이스트와 서울대 수학과가 나름대로 선방하고 있다. https://www.topuniversities.com/university-subject-rankings/mathematics?page=6 QS World University Rankings for Mathema..
사는 이야기
담양 소쇄원과 죽녹원
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변산반도 채석강_겨울 풍경
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미적분
구분구적법과 정적분
구분구적법 일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분 구적법이라고 한다. 곡선 $y=x^2$와 $x$축, 직선 $x=2$ 으로 둘러싸인 부분의 면적을 구분구적법으로 구해보자. 구하려는 부분의 넓이를 $S$라고 하자. 등분한 수를 점점 늘려나가면 점점 오차가 줄어드는 것을 알 수 있다. $n$등분 한 경우는 $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 < S < \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \bigg( \frac{2k}{n}\bigg)^2$$ 이다 여기에서 $$ \l..
Calculus
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자. $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$ 이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자. $$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$ 이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다. $$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$ 이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or c..
Calculus
Sin 1/x 의 극한
함수 $y=\sin (1/x)$는 $x$가 $0$으로 가까워질 때, 극한값을 가지지 않음을 보여라. Sol) $x$가 $0$으로 가까워질 때, $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ 한없이 커지거나 작아진다. $\sin (1/x)$의 값은 $-1$와 $1$ 사이를 오간다, 함숫값이 한없이 가까워지는 일정한 상수 $L$이 존재하지 않는다. $x$가 양의 값을 가지며 가까이 갈 때나 음의 값을 가지며 가까이 갈 때나 마찬가지다. $\blacksquare$ 이것을 조금 더 엄밀하게 보이고 싶다면 아래와 같이 적을 수 있겠다. $\forall x$에 대하여 $\displaystyle{-1\leq\sin \frac{1}{x} \leq 1}$이므로 $x\rightarrow 0$일 때, 극한값 $L$이 ..
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