수학과 사는 이야기
수학 이야기
중학수학3
인수분해를 하는 방법
앞에서 곱셈공식은 넓이 구하기로 생각하면 된다고 말했다. 이제는 인수분해를 생각해 보자. 나중에는 이차방정식의 근의 공식과 연결되는 내용이다.$$(x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x+ab$$좌변을 우변으로 만드는 과정은 '전개'이고 우변을 좌변으로 만드는 과정은 '인수분해'이다.다항식 $x^2+7x+10$을 인수분해하는 과정을 생각해 보자.아래에 항등식에서 $a,b$를 구하면 된다. $$x^2+7x+10=(x+a)(x+b)$$정리하면 $$a+b=7\tag{1}$$$$ab=10\tag{2}$$이다. 보통은 두 수를 곱해서 10이 되는 경우를 모두 찾고 더한 값이 7이 되는 경우를 고른다. 그런데 이게 익숙하지 않은 학생들이 아주 많다. 인수분해를 하지 못하면 결국 수학을 포기하게 된다. ..
중학수학3
사각수와 곱셈공식
아래에 있는 방정식을 풀어보자. $$12^2+x=13^2\tag{1}$$ 잘 되었다면 아래 방정식은 어떤가? $$1234^2+x=1235^2\tag{2}$$ 답은 2469인데 1초 이상 걸렸다면 실패다.^^ (1)을 해결하는 여러 가지 유형이 있다. 방법 암기를 좋아하는 학생 $144+x=169$에서 $x=25$를 구한다. 이 방법으로 방정식 (2)를 풀기는 매우 힘들다. 상상만으로도 지친다. 방법 인수분해를 좋아한다면 $x=13^2 -12^2=(13-12)(13+12)=25$로 구한다. 이 방법은 방정식 (2)도 쉽게 해결할 수 있으므로 그럴듯하다. $$x=1235^2 -1234^2=(1235-1234)(1235+1234)=2469$$ 방법 이런 방법은 어떨까? 아래 그림과 같이 제곱수는 정사각형의 넓..
중학수학3
곱셈공식은 넓이 구하기
기하와 대수는 수학이란 학문을 지탱하는 커다란 두 기둥이다. 따지고 보면 기하와 대수는 크게 다르지 않다. 오히려 서로를 떼어내기 어려운 부분도 있다. 대수에서 아주 많이 사용하는 곱셈공식을 기하로 생각해 보자. 아래 그림과 같이 곱셈공식은 사각형의 넓이 구하기로 생각할 수 있다. 교과서에 있으니 어쩔 수 없이 수업시간에 따로 다루게 되지만 곱셈공식을 굳이 외울 필요가 없다고 생각한다. 다만 주어진 시간은 짧고 문제는 복잡할 때는 공식을 외우고 있으면 편하다. 또한 곱셈공식을 외우지 않더라도 곱셈을 많이 하다 보면 저절로 외워진다. 구구단을 외우고 싶지 않아도 저절로 외워지듯이 말이다. $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\tag{1}$$ $$(a+b)^2=a^2 +2ab+b^2\tag{2}$$ ..
사는 이야기
벚꽃잎 휘날리는 길을 달리다
들꽃의 여왕_얼레지
담양 소쇄원과 죽녹원
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미적분
구분구적법과 정적분
구분구적법 일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분 구적법이라고 한다. 곡선 $y=x^2$와 $x$축, 직선 $x=2$ 으로 둘러싸인 부분의 면적을 구분구적법으로 구해보자. 구하려는 부분의 넓이를 $S$라고 하자. 등분한 수를 점점 늘려나가면 점점 오차가 줄어드는 것을 알 수 있다. $n$등분 한 경우는 $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 < S < \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \bigg( \frac{2k}{n}\bigg)^2$$ 이다 여기에서 $$ \l..
Calculus
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자. $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$ 이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자. $$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$ 이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다. $$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$ 이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or c..
중학수학2
분수의 역사
어린 시절 수를 처음 배울 때, 수는 당연히 자연수만 존재한다. 하나, 둘, 셋 $\cdots$ 하지만 조금만 더 지나면 하나보다 작은 것이 있음을 깨닫는다. 그러나 하나가 부서진 조각을 수로 인식하는 것은 쉽지 않다. 자연수가 부서진 조각인 분수를 수로 나타내고 계산하는 것은 상당히 어려운 일이어서 많은 초등학생이 분수 때문에 수학을 포기하기도 한다. 역사를 공부하면 도움이 되지 않을까 싶어 정리해 둔다. 기원전 1000년 경 이집트 린드 파피루스에 분수가 나온다고 하니 어찌보면 그 역사가 제법 길다. 이집트 분수 표기법 분수를 어떻게 나타냈을까? 입을 나타내는 문자 아래에 숫자를 나타내는 문자를 써서 분수를 나타냈다. (참고 이집트 숫자 표기) 이집트인은 분자가 1인 단위분수를 주로 사용하였다. 아래..
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