정적분의 기본 정리

1. 적분과 미분 사이의 관계

이제 $\displaystyle{F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt}$이라 하자.
함수 `F(x)`의 도함수 `F^{\prime} (x)`를 구해보자.
$$F^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$이다.

 

`\Delta F=F(x+h)-F(x)`,  `\Delta x=h`라고 하자.
`x`와 `x+h` 사이에서 함수 `f`의 최댓값과 최솟값을 각각 `M`와 `m`이라고 하면,

`m \cdot \Delta x < \Delta F <M \cdot \Delta x`이므로

$$m < \frac{\Delta F}{\Delta x} <M$$이다.

 

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}m=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}M=f(x)$$
$$\therefore F^{\prime} (x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta x}=f(x)$$

적분과 미분 사이의 관계

$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

 

2. 정적분의 기본 정리

적분과 미분 사이의 관계에 의하여 `F(x)`는 `f(x)`의 원시함수 즉 부정적분이다.
$$ \int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+C  (단, F^{\prime} (x)=f(x))$$이다.
`x=a`일 때 정적분의 정의에 의하여
$\displaystyle{0=\int_{a}^{a}f(x)dx=F(a)+C}$이므로 적분상수 `C=-F(a)`이다.
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$이다.

이를 정적분의 기본정리라고 한다.

정적분의 기본 정리

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

교육과정이 바뀌면서 기본정리를 정의로 쓰고 있다.