판별식으로 이차함수 새로고침

근의 공식에 나오는 판별식으로 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를  해석해 보자.

$x$에 대한 방정식은 $x$의 값에 따라 참과 거짓이 결정되는 등식이다. 따라서 방정식은 항상 $P(x)=0$꼴로 정리할 수 있다.

$x$의 값에 따라 $y$의 값이 하나씩 잘 정해지면 $y$는 $x$의 함수라고 한다. 따라서 문자가 최소 둘이라야 한다. 보통 $y=f(x)$꼴로 정리할 수 있다.

이차방정식은 이차함수에서 $y=0$일 때를 의미한다. 따라서 이차방정식의 근은 포물선 $y=ax^2+bx+c$와 $x$축인 $y=0$이 만나는 점으로 해석할 수 있다.

판별식 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 아래와 같이 해석하면 된다.

포물선이 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 서로 다른 두 실근을 가진다.

$$x_1 =-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{D}}{2a},\;\;x_2=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}$$

포물선이 $x$축과 접한다. 한 점에서 만난다. $\Rightarrow$ 중근을 가진다.

$$x=-\frac{b}{2a}$$

포물선이 $x$축과 만나지 않는다. $\Rightarrow$ 허근을 가진다.

이차함수의 그래프인 포물선과 직선의 위치관계도 같은 방식으로 쉽게 알 수 있다.

즉, 이차함수 $y=ax^2 +bx+c$와 직선 $y=mx+n$이 만나는 점은 연립방정식으로 해석하면 된다.

$$\begin{cases}y=ax^2 +bx+c\\y=mx+n\end{cases}$$

정리하여 아래와 같은 이차방정식의 근을 구하는 것이 바로 교점의 $x$좌표를 구하는 것이다.

$$ax^2 +(b-m)x+c-n=0\tag{1}$$

(1)의 판별식으로 위치관계를 쉽게 알 수 있다.