다항식의 연산

고등학교 공통수학은 다항식의 연산으로 시작한다. 어찌 보면 참으로 재미없는 단원이다. 덧셈과 뺄셈은 어려움이 없지만 곱셈은 공식을 외우지 않으면 안 된다. 단순하게 외워도 되지만 서로 관계를 살펴보면 좋다.

$$(a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca\tag{1}$$

$$(a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 ,\,\,\,(a-b)^3 =a^3 -3a^2 b +3ab^2 -b^3 \tag{2}$$

$$(a+b)(a^2 -ab+b^2)=a^3 +b^3,\,\,\,(a-b)(a^2 +ab+b^2)=a^3 -b^3 \tag{3}$$

교과서엔 있는 위와 같은 공식에서 (2)는 아래와 같이 외우면 훨씬 좋다.

$$(a+b)^3 =a^3 +b^3+3ab(a+b),\,\,\,(a-b)^3 =a^3 -b^3 -3ab(a-b) \tag{4}$$

(4)를 변형하면 아래와 같은 인수분해 공식을 얻을 수 있다.

$$a^3 +b^3 =(a+b)^3 -3ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2 -ab)\tag{5}$$

공식은 문제를 쉽게 풀기 위해 외우는 것이다.

예제 $x=\sqrt3 +\sqrt 2 , \,\,y=\sqrt3 -\sqrt2$일 때, $x^3 +y^3$의 값을 구하여라.

위와 같은 문제는 무턱대고 대입하여 $(\sqrt3 +\sqrt2 )^3 +(\sqrt3 -\sqrt2 )^3$을 계산하지 말고 당연히 (5)를 이용해야 한다.

$x+y=2\sqrt3,\,\,xy=1$이므로

$x^3 +y^3 =(x+y)^3 -3xy(x+y)=(2\sqrt3 )^3 -3(2\sqrt3)=18\sqrt3$이다.

문제 1 $x=2+\sqrt 3,\,\,y=2-\sqrt 3$일 때, $x^3 -y^3$의 값을 구하여라.

문제 2 $x^2 +y^2 =6,\,\,xy=-1$일 때, $x^5 +y^5$의 값을 구하여라. (단, $x+y>0$)