2-2 이차함수의 최대, 최소

고등학교는 중학교와 달리 $x$의 값의 범위가 주어진 경우를 다룬다. 최대, 최소를 구하려면 먼저 완전제곱식을 써서 이차함수 $y=ax^2 +bx+c$를 $y=a(x-p)^2 +q$꼴로 고쳐야 한다. 편의상 일반형을 표준형으로 고친다고 하자.

포물선의 꼭짓점 찾기

굳이 외울 필요는 없지만 두 식을 비교하면 아래와 같은 관계를 쉽게 확인할 수 있다. 

$$p=- \frac{b}{2a}\tag{1}$$

$$q=-\frac{b^2 -4ac}{4a}=-\frac{D}{4a}\tag{2}$$

근의 공식과 비교하여도 쉽게 확인할 수 있다.

 $a(x-p)^2 +q=0$에서 $\displaystyle{(x-p)^2=-\frac{q}{a}}$이므로 

$$x=p\pm\sqrt{-\frac{q}{a}}$$

$p$의 값만 알면 대체로 쉽게 $q$의 값을 알 수 있으므로 (1)을 사용하면 여러모로 계산이 편하다.

이차방정식 $ax^2 +bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,\,\beta$라고 하자.

$p$는 아래와 같이 두 근의 평균이란 당연한 사실을 확인할 수 있다.

$$p=\frac{1}{2}\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{\alpha+\beta}{2}$$

포물선 자르기

$x$의 값의 범위가 $\alpha\leq x \leq \beta$로 제한되었다고 하면, 이차함수  $f(x)=a(x-p)^2 +q$ 꼭짓점의 $x$좌표인 $p$의 값에 따라 이차함수의 최댓값과 최솟값이 결정된다. 포물선을 두 직선 $x=\alpha$, $x=\beta$로 잘라낸 조각을 생각하면 된다.

예제 $1\leq x \leq 4$일 때, 이차함수 $y=x^2 -4x+6$의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

이차함수의 활용

예제 실수 $x,\,y$에 대하여 $x^2 +2y^2 =1$일 때, $2x^2+x +2y^2$의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

이차함수 문제가 아닌 것처럼 느껴지는 문제다.

$2y^2=1-x^2$이므로 주어진 식을 고치면 아래와 같이 이차식으로 바꿀 수 있다.

$$2x^2 +x+2y^2=2x^2 +x+1-x^2=x^2+x +1$$

따라서 주어진 식의 최댓값과 최솟값은 아래와 같은 이차함수로 구할 수 있다.

$$f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 +\frac{3}{4}$$

한편, $y$는 실수이므로 $2y^2 =1-x^2 \geq 0$에서 $-1 \leq x \leq 1$이다.

따라서 $x=-1/2$일 대, 최솟값 $3/4$, $x=1$일 때, 최댓값 $3$이다. 

범위도 숨어 있는 문제다. 이런 문제는 따로 분류해 정리해 두는 것이 좋다.

아래와 같은 문제도 범위가 숨어 있는 문제다.

문제 $y=2(x^2 -4x+3)^2 +4(x^2 -4x+3)+3$의 최솟값을 구하여라.