수학과 사는 이야기

자연수 $n$에 대해 0보다 크거나 같은 값을 갖는 확률변수 $X_n$의 확률밀도함수가 $$f_n (x)=c_n x^n e^{-x},\quad\quad x\geq 0$$으로 주어졌다. ($e$는 자연로그의 밑, $c_n$은 $n$에 따라 달라지는 양의 상수이다.) 단, 모든 $n$에 대해서 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}x^n e^{-x}=0}$임이 알려져 있다. (총 5점) 1) $n=2$인 경우인 $f_2(x)$가 확률밀도함수가 되는 상수 $c_2$의 값을 구하시오. (2점) 2) 자연수 $n$과 고정된 양의 상수 $r>0$에 대해서 확률 $P(a \leq X_n \leq a+r)$가 최대가 되는 양수 $a$를 $r$과 $n$을 사용하여 표현하고 최대인 근거를..

올해는 대부분 대학이 구술 면접을 비대면으로 하기로 했다. 카이스트는 아직 결정하지 감염병 대응 단계에 따라 대면 면접이 있을 수도 있다고 한다. 지난해 면접 기출문제와 풀이가 카이스트 입학처에 올라와 있지만 코로나 상황이 끝나면 다시 쓸 수 있도록 나름대로 정리해 보려고 한다. 자연수 $n$에 대해 두 함수 $f(x)= \sin^3 (nx)$와 $g(x)= \cos^3 (nx)$를 생각하자. (총 5점) 1) 구간 $[0,2\pi]$에서 두 평면 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 만나는 교점의 $x$좌표의 최솟값 $a$와 최댓값 $b$를 구하시오. (1점) 2) 구간 $[a,b]$에서 두 평면 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때 극한값 $\lim..