이항급수 Binomial Series

$x=0$에서 함수 $f(x)=(1+x)^m$로 테일러 급수를 생성해 보자. $m$은 상수이다.

$$\begin{split} f(x)&=(1+x)^m \\ f^{\prime}(x)&=m(1+x)^{m-1}\\f^{\prime\prime}(x)&=m(m-1)(1+x)^{m-2}\\f^{\prime\prime\prime}(x)&=m(m-1)(m-2)(1+x)^{m-3} \\ & \vdots \\ f^{(k)}(x)&=m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)(1+x)^{m-k}\end{split}$$

$$\begin{split}f(x)=&1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2 +\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3+\\ &\cdots+\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!}x^k+\cdots\end{split}\tag{1}$$

(1)은 $|x|<1$에 대하여 절대수렴하는 급수인데 다른 이름으로 이항급수(binomial series)라고 부른다.

$m$이 0이상인 정수이면 $k=m+1$일 때 분자가 0이 되므로 $(m+1)$개 항에서 끝난다. 이것은 고교 과정에서 배우는 이항정리와 같다.

$m$이 0이나 양의 정수가 아니라면 무한급수가 된다. $x^k$를 포함한 항을 $u_k$라고 놓고 비 판정(ratio test)으로 수렴 구간을 찾으면 $|x|<1$임을 알 수 있다.

|$$\bigg|\frac{u_{k+1}}{u_k}\bigg|=\bigg|\frac{m-k}{k+1}x\bigg|\rightarrow|x|\quad\quad as\quad k\rightarrow\infty$$

(1)이 $(1+x)^m$으로 수렴한다는 증명은 따로 살펴보기로 하자.

이항급수 binomial series

$-1<x<1$일 때,

$$(1+x)^m=1+\sum_{k=1}^{\infty}\pmatrix{m\\k}x^k$$

$$\begin{split}\pmatrix{m\\1}&=m,\\  \pmatrix{m\\2}&=\frac{m(m-1)}{2!},\\
\pmatrix{m\\k}&=\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!} \quad\quad(k\geq3)\end{split}$$

테일러 급수는 간단한 함수를 훨씬 복잡하게 나타낸 것처럼 보이지만 다항함수로 바꾼 것이라 미분과 적분이 매우 쉽다는 장점이 있다. 기본이 아닌 적분을 계산할 때 테일러 급수를 쓰면 근삿값을 쉽게? 계산할 수 있다. 

예제 $\int_{0}^{1} \sin x^2 dx$를 계산해 보자.

$\sin x$를 테일러 급수로 적고 $x^2$을 합성하고 항별로 적분하여 값을 구하면 된다.

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$$\sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\cdots$$

$$\int_{0}^{1} \sin x^2 dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{7\cdot3!}+\frac{1}{11\cdot5!}-\frac{1}{15\cdot7!}+\cdots$$

 

예제 $\tan^{-1}x$의 테일러 급수로 $\pi$의 근삿값 구하기

먼저 

$$\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2 +x^4-x^6+\cdots$$

$$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots$$

양변에 $x=1$을 대입하면 라이프니츠 공식(Leibniz's formula for $\pi$)을 얻는다.

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{(-1)^n}{2n+1}+\cdots$$

이 공식은 느리게 수렴하는데 더 빠르게 하려면 0에 더 가까운 $x$값을 대입하면 된다.

예를 들면

$$\alpha=\tan^{-1}\frac{1}{2},\quad \beta=\tan^{-1} \frac{1}{3}$$

이면

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\frac{1/2+1/3}{1-1/6}=1=\tan\frac{\pi}{4}$$

이므로 $\displaystyle{\frac{\pi}{4}=\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}}$이다.

따라서 $x=1/2$와 $x=1/3$을 대입한 급수를 더해서 4를 곱하면 $\pi$의 근삿값을 구할 수 있다.

 

세상에서 가장 아름다운 정리인 오일러 정리도 테일러 급수로 쉽게 보일 수 있다.

$$e^x =1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$x=i\theta$를 대입하자.

$$\begin{split}e^{i\theta} &=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{i^2\theta^2}{2!}+\frac{i^3\theta^3}{3!}+\frac{i^4\theta^4}{4!}+\frac{i^5\theta^5}{5!}+\frac{i^6\theta^6}{6!}+\frac{i^7\theta^7}{7!}+\cdots \\&=\bigg(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots\bigg)+i\bigg(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots\bigg)\\&=\cos\theta+i\sin\theta\end{split}$$

아래 이어진 글을 참고하면 아주 구하기 어려운 타원적분도 계산할 수 있다.

https://suhak.tistory.com/856

단진자 운동 주기 간단치 않네