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단진자 운동 주기 간단치 않네::::수학과 사는 이야기

단진자 운동 주기 간단치 않네

수학이야기/Calculus 2019. 6. 11. 00:38
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사이이클로이드를 따라 진동하는 호이겐스 진자의 주기를 계산하고 나니 단진자 운동도 계산해 보고 싶어진다. 원 운동이니 간단할 줄 알고 시작했는데 웬 걸 상당히 복잡하다. 결국은 제1종 타원적분임을 찾았다. 다시 보다가 오타가 있어서 새로 정리한다.

단진자 [simple pendulum, 單振子]

아래 그림과 같이 진자는 원호를 움직인다. 진자 질량은 $m$, 진자 길이는 $l$이다.

(xlsinθ0)2+(ylcosθ0)2=l2

$\theta$로 매개화하면 아래와 같다.32πθ0θ32π

x=lsinθ0+lcosθ

y=lcosθ0+lsinθ

진자가 $\theta_0$ 회전할 때 걸리는 시간($T$)를 구해보자.

mgy=12mv2v=2gy

v=dsdT=2gyds2gy=dT

T=ds2gy

ds=(dx)2+(dy)2=ldθ

T=3π/2θ03π/2ldθ2gl(cosθ0+sinθ)=l2g3π/2θ03π/2dθcosθ0sinθ=l2g0θ0dtcosθ0+cost(t=3π/2θdt=dθ)=l2g0θ0dt2(sin2θ02sin2t2)(cosθ=12sin2t2cosθ0=12sin2θ02)=12l2g0θ0dt(k2sin2t2)(sinθ02=k)

$\displaystyle{kz=\sin\frac{t}{2}}$로 치환하여 간단한 모양으로 고쳐보자.

kdz=12cost2dt

2kdz=1k2z2dt

(1)T=12lg012kdzk2(1z2)1k2z2=lg01dz1z21k2z2

1종 타원적분이 나왔다. 여기서 그만하기는 아쉽다. 이항급수도 배웠으니 도전해 보자. 먼저 1종 타원적분을 다시 정리하면 아래와 같다.

K(k)=0π2dθ1k2sin2θ=01dt(1t2)(1k2t2)

먼저 이항급수를 적어보자

(1+x)1/2=m=0(12m)xm(0!=1)

여기서 아래는 먼저 정리해 두자.

(12m)=12(121)(122)(12m+1)m!(2)=(1)m135(2m1)2mm!=(1)m(2m1)!!(2m)!!

11(kt)2=(1(kt)2)1/2=m=0(12m)(1)m(kt)2m

K(k)=0111t2m=0(12m)(1)m(kt)2mdt=m=0(12m)(1)mk2m01t2m1t2dt=m=0(12m)(1)mk2m0π/2sin2mϕdϕ(t=sinϕdt=cosϕ)=m=0(12m)(1)mk2m[2m12m2m32m212]π2

(2)을 넣어 정리하면 

(3)K(k)=m=0k2m[2m12m2m32m212]2π2

이중 계승 기호 !!(double factorial)로 간단하게 표현하면 아래와 같다.

(4)K(k)=m=0k2m[(2m1)!!(2m)!!]2π2

(3)을 (1)에  대입하여 정리한 다음 4를 곱하면 주기를 구할 수 있다.

4T=2πlgm=0k2m[2m12m2m32m212]2(k=sinθ02)

4T=2πlg(1+(12)2k2+(1324)2k4++(2m12m2m32m212)2k2m+)

$\theta_0$가 작을 때는 주기에 미치는 영향이 매우 작지만 클 때는 그렇지 않다. 따라서 진자의 등시성을 만족하는 진자는 원 궤도가 아니라 사이클로이드 궤도를 가져야 한다. 궤도가 사이클로이드인 진자는 호이겐스 진자다.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

 

Elliptic integral - Wikipedia

From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Special function defined by an integral In integral calculus, an elliptic integral is one of a number of related functions defined as the value of certain integrals. Originally, they a

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