단진자 운동 주기 간단치 않네
수학이야기/Calculus 2019. 6. 11. 00:38사이이클로이드를 따라 진동하는 호이겐스 진자의 주기를 계산하고 나니 단진자 운동도 계산해 보고 싶어진다. 원 운동이니 간단할 줄 알고 시작했는데 웬 걸 상당히 복잡하다. 결국은 제1종 타원적분임을 찾았다. 다시 보다가 오타가 있어서 새로 정리한다.
아래 그림과 같이 진자는 원호를 움직인다. 진자 질량은 $m$, 진자 길이는 $l$이다.
$\theta$로 매개화하면 아래와 같다.
진자가 $\theta_0$ 회전할 때 걸리는 시간($T$)를 구해보자.
$\displaystyle{kz=\sin\frac{t}{2}}$로 치환하여 간단한 모양으로 고쳐보자.
1종 타원적분이 나왔다. 여기서 그만하기는 아쉽다. 이항급수도 배웠으니 도전해 보자. 먼저 1종 타원적분을 다시 정리하면 아래와 같다.
먼저 이항급수를 적어보자
여기서 아래는 먼저 정리해 두자.
(2)을 넣어 정리하면
이중 계승 기호 !!(double factorial)로 간단하게 표현하면 아래와 같다.
(3)을 (1)에 대입하여 정리한 다음 4를 곱하면 주기를 구할 수 있다.
$\theta_0$가 작을 때는 주기에 미치는 영향이 매우 작지만 클 때는 그렇지 않다. 따라서 진자의 등시성을 만족하는 진자는 원 궤도가 아니라 사이클로이드 궤도를 가져야 한다. 궤도가 사이클로이드인 진자는 호이겐스 진자다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
Elliptic integral - Wikipedia
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