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원뿔 곡선 작도하기::::수학과 사는 이야기

원뿔 곡선 작도하기

수학이야기/기하벡터 2020. 8. 21. 14:27
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요즘 2차 곡선으로 부르는 곡선은 원뿔을 자른 단면이라서 원뿔 곡선으로 불러졌다. 알면 알 수록 아름다운 원뿔 곡선을 작도해 보자. 작도하는 법은 원뿔 곡선이 가지고 있는 많은 성질을 증명할 때 큰 도움을 준다.

정의: 한 정점에 이르는 거리가 같은 점의 자취

그냥 컴퍼스로 그리면 된다.

포물선

정의: 한 정직선과 정점에 이르는 거리가 같은 점의 자취


한 직선과 한 점 F가 주어졌다고 하자.

  1. 직선 위에 있는 점 AF를 잇는 선분 AF의 수직이등분선을 작도한다.
  2. A를 지나고 주어진 직선과 수직인 직선이 위에서 작도한 직선과 만나는 점을 P라 하자.

 

 

P선분 AF의 수직이등분선 위에 있으므로

¯PA=¯PF

따라서 점 P는 포물선 위에 있는 점이다.

타원

정의: 두 정점에 이르는 거리의 합이 일정한 점의 자취


두 정점 F1F2가 주어졌다고 하자.

  1. F1을 중심으로 점 F2가 원 안에 있도록 적당한 원 c를 작도한다.
  2. 원 위에 있는 점 A라고 하자.
  3. 원 안에 있는 점 F2와 점 A를 잇는 선분의 수직 이등분선을 작도한다.
  4. 직선 F1A와 수직 이등분선이 만나는 점 P를 찾는다.

c의 반지름을 R이라고 하자. 점 P는 수직이등분선 위에 있는 점이므로

¯PA=¯PF2 이다.

¯PF1+¯PF2=¯PF1+¯PA=R

그러므로 점 P는 타원 위에 있는 점이다.

 

쌍곡선

정의: 두 정점에 이르는 거리의 차가 일정한 점의 자취


두 정점 F1F2가 주어졌다고 하자.

  1. 중심이 F1이고 점 F2가 원 밖에 있도록 적당한 원 c를 작도한다.
  2. 원 위에 있는 점 A라고 하자.
  3. 원 밖에 있는 점 F2와 점 A를 잇는 선분의 수직 이등분선을 작도한다.
  4. 직선 F1A와 수직 이등분선이 만나는 점 P를 찾는다.

 

c의 반지름을 R이라고 하자. 점 P는 수직 이등분선 위에 있는 점이므로

¯PA=¯PF2 이다.

|¯PF1¯PF2|=|¯PF1¯PA|=R

그러므로 점 P는 쌍곡선 위에 있는 점이다.

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