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수학이야기/미적분

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와트 곡선
수학이야기/미적분 2024. 2. 4. 21:52
와트 곡선(watt's curve)은 증기기관을 발명한 제임스 와트(James Watt(1736- 1819))의 이름을 딴 곡선이다. 차수 6의 삼원 평면 대수 곡선(tricircular plane algebraic curve of degree six)이다. 곡선의 방정식은 무려 6차 다항식으로 나타난다. 이 곡선은 중심이 $(\pm a, 0)$이고 반지름 $b$인 두 원에 의해 만들어진다. 길이 $2c$의 선분의 끝점이 두 원 위에서 움직일 때, 선분의 중점은 와트 곡선을 그린다. 극형식으로 표현하면 아래와 같다. $$r^2 =b^2 -[a\sin\theta \pm\sqrt{ c^2-a^2 \cos^2 \theta}]^2$$ https://en.wikipedia.org/wiki/Watt%27s_curv..
미적분을 향한 공격
수학이야기/미적분 2023. 6. 30. 14:14
수학 시간엔 쓰지 않지만 물리 시간엔 많이 쓰는 개념이 있다. 바로 무한소란 개념이다. 극한을 배우지 않은 고등학교 1학년 학생에게 뉴턴의 운동법칙과 같은 물리를 설명하기 위해 필요한 모양이다. 하지만 이 때문에 극한을 배우고 난 다음에도 무한소의 개념을 적용하려 들다가 모순에 빠지는 학생이 있다. 무한소와 극한은 서로 양립할 수 없는 개념이다. 물론 대부분은 문제를 모르고 지나간다.무한소가 지닌 헛점어떤 분야이든 처음 시작할 때는 구멍이 있기 마련이다. 뉴턴과 라이프니츠의 연구에도 빈틈은 많았다. 그 가운데 하나가 바로 '무한소'라는 개념이다. 라이프니츠는 1680년경 '무한소'라는 개념을 사용했다. 뉴턴도 탐탁지 않았지만 1665년에 쓴 원고에서 무한소의 개념을 사용했다.무한소라는 개념을 기하학적으로..
모든 원은 둘레의 길이가 같다?
수학이야기/미적분 2023. 6. 15. 14:55
차례 고대 그리스 시절 수학자들을 괴롭힌 여러 가지 역설이 있다. 그 가운데 무한과 관련된 몇 가지 역설은 요즘 사람도 깨기가 쉽지 않다. 미적분도 배우고 집합론도 배워야 겨우 모순을 찾아낼 수 있다. 이런 역설을 연구하면 수학 문제 해결에 직관은 굉장히 좋은 도구이지만 한계도 분명함을 깨닫는다. 아리스토텔레스의 바퀴 역설 아래 영상과 같이 반지름의 길이가 다른 동심원이 함께 구르는 장면을 상상해 보자. 큰 원은 빨간 선분 위를 구르고 작은 원은 파란 선분 위를 따라 한 바퀴 회전한다. 두 선분은 길이가 같다. 따라서 두 원은 둘레의 길이가 같다? 뭐야 이건! 이게 맞다면 모든 원은 둘레의 길이가 같다. 당연히 말이 안 되는 소리다. 하지만 막상 모순을 명확하게 찾아 역설을 깨기가 쉽지 않다. 더군다나 ..
$\pi$는 무리수다
수학이야기/미적분 2023. 6. 8. 21:36
무리수는 순환하지 않는 무한소수이다. 무한소수임을 보이는 것도 쉽지 않은데 순환하지 않음까지 보여야 한다. 따라서 어떤 수가 무리수임을 증명하기는 어렵다. $\pi$는 가장 처음 만나는 무리수이다. 당연히 $\pi$ 무리수라고 알고 있지만 증명을 하는 사람은 많지 않다. 고등학교 수준으로 증명을 이해할 수 있을 것 같아서 적는다. 먼저 $\pi^2$이 무리수임을 보이는 증명이다. 1794년 라그랑제(Joseph Louis Lagrange)가 증명했다. 증명 $\pi^2$가 유리수라고 가정하자. $\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합 $\displaystyle{\pi^2=\frac{p}{q}\quad (p,q \in \mathbb{Z},\;\;q\not=0)}$라고 놓을 수 있다. $\displayst..
미적분도 선형 변환이다
수학이야기/미적분 2020. 11. 19. 16:03
미분방정식은 수학 전공이 아닌 자연 과학 대학생이나 공대생도 피해 갈 수 없는 과정이다. 미분방정식을 푸는 방법은 이미 정리를 하였다. 시간이 많다면 차근차근 읽어 보면 좋겠지만 이미 알고 있다고 전제하고 시작한다. suhak.tistory.com/830 1차 선형 미분방정식의 풀이 미분방정식은 워낙 다양한 꼴이 있기때문에 분류를 잘해야 풀이를 찾을 수 있다. 상대적으로 풀이가 간단한 기본꼴의 풀이를 익히고 점점 더 복잡한 꼴을 해결하여야 한다. 복잡한 꼴은 당연히 suhak.tistory.com 조금 더 근본적으로 미분방정식을 살펴보려고 이글을 쓴다. 미분을 선형 변환으로 다루는 방법에 대한 정리라고 보면 된다. 선형 대수는 아래 글에 정리해 두었다. suhak.tistory.com/1203 선형 대수..

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