수학과 사는 이야기::::수학과 사는 이야기

수학과 사는 이야기

수학 이야기

미적분Ⅰ 연속함수는 값을 건너뛰지 않는다 연속함수는 그래프가 끊어지지 않고 이어지는 함수이다. 이 단순해 보이는 성질에서 매우 중요한 두 가지 정리가 나온다. 하나는 연속함수의 최대·최소 정리이고, 다른 하나는 사잇값 정리이다.두 정리 모두 연속함수의 그래프를 떠올리면 비교적 자연스럽게 이해할 수 있다. 아쉽게도 고등학교 과정에서 엄밀하게 증명하기는 어렵다.“증명이 궁금해서 참을 수 없다면 수학과에 진학하시라. 거기서는 피하고 싶어도 만나게 된다.”연속함수의 최대·최소 정리함수 $ \displaystyle f(x) $가 닫힌구간 $ \displaystyle [a,b] $에서 연속이면, 이 구간에서 $ \displaystyle f(x) $는 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.즉, $ \displaystyle [a,b] $ 안의 어떤 두 점 $ \d..
미적분Ⅰ 함수의 연속 일상에서 사용하는 ‘연속’이라는 말의 뜻은 직관적으로 쉽게 이해할 수 있다. 무언가가 중간에 끊어지지 않고 계속 이어진다는 뜻이다. 함수에서도 연속은 이와 비슷한 의미를 가진다. 쉽게 말하면 함수의 그래프를 좌표평면에 그렸을 때 그래프가 중간에 끊어지지 않고 자연스럽게 이어지면 연속이라고 생각할 수 있다.[미적분Ⅰ]에서 주로 다루는 다항함수와 같은 함수는 그래프의 모양만 보아도 연속임을 쉽게 짐작할 수 있다. 실제로 다항함수는 모든 실수에서 연속이다. 하지만 ‘그래프가 끊어지지 않는다’는 설명은 연속을 이해하는 데 도움을 주는 직관적인 설명일 뿐, 연속을 정확하게 정의하기에는 충분하지 않다.함수에 따라서는 그래프를 직접 그리기 어렵거나 그래프만 보고 특정한 점에서 연속인지 판단하기 어려운 경우도 있다. ..
미적분Ⅰ [미적분Ⅰ] 비상 교과서 함수의 극한 도전 문제 풀이 (원과 직선의 교점) 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha \quad (\alpha\text{는 실수})}$이고 $\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=0}$이면 함수의 극한에 대한 성질에 따라 $$ \begin{split} \lim_{x\to a}f(x) &=\lim_{x\to a}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\times g(x)\right\}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\times\lim_{x\to a}g(x)\\ &=\alpha\times 0=0 \end{split} $$이 성립한다. 즉, $ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=0..

사는 이야기

더보기

여행/맛집

인공지능

티스토리툴바