수학과 사는 이야기

살며 가르치며 배우는 수학샘이 기록하는 이야기

수학 이야기

기하 평면벡터의 내적 평면벡터에서 내적은 두 벡터가 이루는 각과 크기를 하나로 묶어 실수값으로 바꾸는 기본 연산이다. 방향을 지닌 두 대상을 곱하여 방향이 없는 스칼라량을 얻는 셈이다.내적이란?기하 정의영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$($0 \le \theta \le \pi$)라 할 때, 내적 $\vec{a} \cdot \vec{b}$는 다음과 같이 정한다.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vert{}\vec{a}\vert{}\vert{}\vec{b}\vert{}\cos\theta$$어느 한쪽이 영벡터이면 내적값은 $0$으로 정한다.기하 의미: 한 벡터를 다른 벡터 위로 정사영(그림자) 내렸을 때 생기는 부호 달린 길이와, 기준 벡터 길이의 곱..
기하 좌표평면과 좌표공간: 점의 위치를 나타내는 가장 우아한 약속 데카르트가 천장을 기어가는 파리를 눈여겨보다가 좌표를 떠올렸다는 이야기가 있다. 중학교 1학년 때 처음 마주하는 '좌표평면'은 고등학교에 올라가 기하 교과에서 '좌표공간'으로 자연스럽게 넓어진다.쓰임새나 생김새 자체는 싱거울 만큼 쉽고 단순해 보일지 모른다. 하지만 좌표를 길잡이 삼아 세상을 읽어 내는 것과 그렇지 않은 것의 차이는, 그야말로 하늘과 땅 차이다.평면좌표평면 위에 있는 점을 읽는 법도 2가지가 있다. 하나는 이글에서 정리하려는 데카르트 좌표이고 다른 하나는 극좌표이다. 아래 그림에서 왼쪽이 우리에게 익숙한 데카르트 좌표이다. 참고로 다른 좌표계로는 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계 등이 있다. 중학교에서 익혔듯이, 원점에서 수직으로 만나는 두 수직선을 이용해 평면 위의 점을 두 수의 순서쌍..
미적분Ⅰ 그래프 그리기에 도함수를 쓰자 미분은 함숫값의 변화를 관찰하기 위해 만들었다고 해도 지나친 말이 아니다. 움직이는 물체의 빠르기를 재거나 곡선이 굽어 돌아가는 모양을 살필 때처럼, 어떤 양이 다른 양에 따라 어떻게 달라지는지 살피는 일은 늘 수학의 중심에 있었다.주어진 함수에서 함숫값이 어떻게 변하는가를 한눈에 보여주고자 할 때 우리는 좌표평면 위에 그래프를 그린다. 점들의 모임으로 흩어져 있던 관계가 하나의 매끄러운 곡선으로 이어지는 순간, 보이지 않던 수의 흐름이 눈앞에 펼쳐진다.그러나 식의 꼴이 복잡해질수록 일일이 값을 넣어 점을 찍는 방식으로는 전체 모습을 온전히 그려내기 어렵다. 바로 이 대목에서 미분이 길잡이가 된다. 찰나의 순간변화율을 뜻하는 도함수를 구하면 곡선이 어느 구간에서 위로 오르고 어느 구간에서 아래로 내려앉는..

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