살며 가르치며 배우는 수학샘이 기록하는 이야기
수학 이야기
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미적분
적분과 미분 사이의 관계
미분은 잘게 쪼개어 순간의 변화를 들여다보는 일이고, 적분은 그렇게 쪼갠 조각들을 차곡차곡 쌓아 전체의 알짜배기를 헤아리는 일이다. 언뜻 보면 접선의 기울기를 재는 기하학적 테크닉과 곡선 아래를 메우는 구분구적의 테크닉은 아무런 상관이 없어 보인다. 실제로 역사 속에서도 적분의 뿌리가 고대 아르키메데스의 평형법까지 거슬러 올라가는 반면, 미분은 17세기에 이르러서야 천체 운동과 렌즈 설계를 위해 태동했다. 수천 년 동안 남남으로 지내던 두 거인이 마주친 순간, 수학은 혁명적인 도약을 이루었다.말뜻에 오롯이 담긴 두 거인의 본질: 미분(微分)과 적분(積分)우리가 무심코 쓰는 '미분'과 '적분'이라는 우리말 용어 역시 이 두 연산의 성격을 더할 나위 없이 명쾌하게 짚어내고 있다. 1859년, 청나라 말기의 ..
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미적분
방향을 품은 넓이, 정적분의 여정
고등학교 미적분 Ⅰ에서 정적분을 처음 배울 때 흔히 "곡선과 $x$축 사이의 넓이"라는 설명을 듣는다. 틀린 말이라 단정할 수는 없어도, 턱없이 부족한 설명임은 분명하다. 넓이는 본래 음수가 될 수 없는데, $x$축 아래로 내려간 함수의 정적분 값은 음수가 나오고 구간의 아래끝과 위끝을 바꾸면 마이너스 부호가 튀어나오기 때문이다.선행학습을 일찍 시작한 학생일수록 '정적분은 곧 넓이'라는 단편적인 생각에 갇혀, 정작 정적분의 본질을 제대로 이해하지 못하는 안타까운 모습을 교실에서 너무나 자주 보았다.정적분의 본질을 오해 없이 이해하려면 넓이 앞에 한 단어를 덧붙여야 한다. 바로 '방향(부호)이 있는 넓이'다. 수학에서 서로 반대되는 방향을 나타내는 가장 간결하고 강력한 방법은 다름 아닌 부호를 붙이는 것이..
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수학이야기
선형성(Linearity)이란?
'정비례'를 아는가? 교실에서 아이들에게 정비례가 무엇이냐고 물으면, "$x$가 증가할 때 $y$도 증가하는 관계"라고 답하는 학생이 뜻밖에 많다. 그러나 이런 답은 '단조증가'의 뜻도, '정비례'의 본질도 제대로 알지 못한다는 방증일 뿐이다. 정비례의 본질은 단순히 둘 다 커지는 '방향'에 있는 것이 아니라, $x$가 $2$배, $3$배로 변할 때 $y$도 정확히 $2$배, $3$배로 변하는 '배율의 보존'에 있다.정비례를 나타내는 식 $y=ax$는 중학교 1학년 교실에서 너무나 당연하고 단순해서 자칫 시시하게 여겨지기 쉬운 식이다. 하지만 사실 이 작은 식 안에는 수학 전체를 관통하는 거대한 씨앗 하나가 숨어 있다. 바로 '선형성(Linearity)'이다.학년이 올라가며 아이들은 수열의 합($\sum..
인공지능
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Gemini&chatGPT
블로그 통계 숫자의 진실: 티스토리, GA4, 서치 콘솔의 차이
찬란했던 블로그 전성시대가 저물었음을 잘 알지만 접지 못하고 있다. 찾는 이가 드물어도 이렇게 주말 아침이면 블로그에 글을 적는다. 블로그가 주는 작은 즐거움에 중독되었기 때문이다.처음엔 수업 시간에 쓸 자료를 올려 두려고 블로그를 만들었다. 우리나라에서 최고인 수학 블로그라는 장난스러운 소개가 학생들에게 곧잘 먹히던 시절도 있었다. 세월이 흐르며 차츰 수학 이야기보다 사는 이야기가 많아졌다.아직도 날마다 블로그 방문자 수를 확인하며 그때그때 기분이 달라진다. 당연히 다다익선이지만 요즘은 500이 기준이다. 넘으면 즐겁고 모자라면 덜 즐겁다. 어제는 409. 그렇다고 절대로 슬프지는 않다.^^예전에도 블로그 카운터 원리를 찾아보긴 했다. 토요일 아침 제미나이에게 묻고 답을 얻는다.블로그 카운터가 작동하는..
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Gemini&chatGPT
벡터와 텐서 표기법의 발전과 원리
길이, 넓이, 부피, 질량, 속력 등은 그 양을 하나의 실수로 나타낼 수 있다. 하지만 바람의 상태나 힘, 속도, 가속도 등은 크기와 함께 방향도 고려해야 한다. 이와 같이 벡터는 크기와 방향을 가진 양이다. 스칼라는 하나의 실수로 양을 나타낼 수 있는 양이다.벡터를 그림으로 나타낼 때, 주로 방향이 있는 선분 $AB$을 이용한다. 쉬운 말로 하면 벡터는 화살표로 나타낸다. 방향은 화살촉으로 크기는 화살표 길이로 나타낸다. 아래 그림을 보면 뭔가 작용하는 힘이 고스란히 잘 느껴진다.고등학교 교육과정에서 벡터 위에 화살표를 쓰는 까닭고등학교 수학 교육과정에서 벡터를 나타낼 때 문자 위에 화살표 표기($\vec{a}$, $\vec{v}$, $\overrightarrow{AB}$)를 사용하는 까닭은 스칼라(..
