수학과 사는 이야기

• 

  공지 이 블로그는? 1996년 포천실고에서 처음으로 교직을 시작한 이래 고향인 강원도로 옮겨서 수학을 가르치고 있습니다. 중학교 3개 학년과 고등학교 3개 학년을 모두 지도한 경험이 있으며, 일반고는 물론 공고와 농고에도 근무하고 강원과학고에도 근무했습니다. 현재는 동해시 북평고에서 1학년을 맡아 주로 ‘공통수학’에 관심을 두고 있습니다. 옆의 글갈래나 상단의 검색창을 활용해 다양한 자료를 찾아보실 수 있습니다.올해 바닷가에서 살고 싶어 동해시로 옮겼지만, 정작 매일 바다를 보지는 못합니다. 여행과 사진을 좋아해 당분간은 동해 인근을 두루 살펴보려 합니다. 카메라는 니콘 D750을 주로 사용하지만, 예전처럼 늘 챙겨 다니지는 못해 요즘은 스마트폰으로도 사진을 자주 찍습니다.인공지능은 하루가 다르게 발전하고 있습니다. 눈이 ..

수학 이야기

• 

  확률통계 생일이 같은 사람이 있을 확률 2026 월드컵이 시작되었다. 축구와는 관계없는 수학이야기를 하나 올린다.경기장 안에 양 팀 선수와 주심까지 모두 23명이 뛰고 있다. 이때 23명 가운데 생일이 같은 사람이 있을 확률은 얼마인가?인간의 직관은 보잘 것 없어서 자주 빗나간다. 위에 있는 문제도 확률이 1/2이 넘는다는 것을 단박에 알아채는 사람은 흔치 않다. 1년은 365일이나 되니까 23명이 생일이 모두 다를 확률이 상당히 높을 것으로 생각하기 쉽다.$n$명 가운데 생일이 같은 사람이 있을 확률을 $p(n)$이라고 하자.먼저 계산을 편하게 하기 위해 $n$명의 생일이 모두 다를 확률을 $\bar p (n)$이라고 하자. 생일이 모두 다르려면 두 번째 사람은 첫 번째 사람과 생일이 달라야 하고 세 번째 사람은 이전 두 사람과 생일이 달라..

• 

  대수 수학적 귀납법 증명법은 크게 연역법과 귀납법이 있음을 배웠다. 거칠게 말하자면 연역법은 3단 논법처럼 참임이 증명된 명제로부터 주어진 새로운 명제가 참임을 밝히는 증명법이다. 반면 귀납법은 각각의 사례를 바탕으로 일반적인 원리를 이끌어 내는 증명법이다.아래와 같은 흔한 예가 있다.연역법(deduction)$p\Rightarrow q$: 사람은 죽는다. $r\Rightarrow p$: 소크라테스는 사람이다.$r\Rightarrow q$: 그러므로 소크라테스는 죽는다.귀납법(induction)사례 1: 플라톤은 죽었다.사례 2: 소크라테스도 죽었다.사례 3: 아리스토텔레스도 죽었다.결론: 모든 사람은 죽는다.수학은 매우 연역적인 학문이라 귀납법을 좀처럼 인정하지 않는다. 혹시 아직 그런 사람은 없지만 죽지 않고 영생하는 ..

• 

  대수 하노이 탑과 점화식 퍼즐의 시작하노이 탑(The Tower of Hanoi puzzle)은 1883년 프랑스의 수학자 루카스(Edouard Lucas)에 의해 개발되었다. 하노이(베트남의 도시) 탑에 관한 문제의 고안자로 Lucas (프랑스인, 1842년)라는 수학자가 알려져 있다. 1883년 Claus라는 이름아래 이 하노이 탑 문제가 처음 나타났다.가만히 살펴보면, Claus 라는 이름은 Lucas라는 이름의 철자를 뒤바꿔 놓은 것임을 알 수 있다. 그가 쓴 수학게임에 관한 책 Récréations mathématiques (1882-94) 은 고전이 되어 있다.베나레스에는 세계의 중심이 있고, 그 곳에는 아주 큰 사원이 있다. 이 사원에는 높이 50cm 정도 되는 다이아몬드 막대 3 개가 있다. 그중 한 막대에는 천지..

인공지능에게 묻다

• 

  Gemini&chatGPT 알람브라 궁전의 아라베스크 문양 스페인에 가본 적은 없지만 테셀레이션에 등장하는 아라베스크 문양을 보니 알람브라 궁전을 한번 보고 싶다. 챗지피티에게 물어보니 뚝딱 글 한 꼭지를 내놓는다.알람브라 궁전을 소개해줘알람브라 궁전은 스페인 남부 안달루시아 지방 그라나다에 있는 궁전 겸 요새야. 이름부터가 인상적인데, 아랍어 알함라(al-Ḥamrāʾ), 즉 ‘붉은 성’이라는 뜻이야. 실제로 석양 무렵이면 붉은빛 성벽이 정말 아름다워.그라나다의 언덕 위에 알람브라 궁전이 있다.멀리서 보면 붉은 성벽이 조용히 도시를 내려다보고 있지만, 안으로 들어서는 순간 전혀 다른 세계가 열린다. 돌과 벽이 말없이 이야기를 건네는 곳, 그 중심에 아라베스크 문양이 있다.알람브라의 벽은 비어 있지 않다. 그렇다고 무언가를 과시하듯 드러내지도 않는다. 벽면을 가득..

• Gemini&chatGPT 친화수(Amicable Numbers)를 깊게 탐구하다 친화수는 두 자연수 사이의 특별한 관계를 나타내는 정수론의 아름다운 개념이며, 고대부터 수학자들의 관심을 받아왔다. 흔히 **우애수(友愛數)**라고도 부르며, 두 수의 약수의 합을 통해 상호 보완적인 관계가 정의된다. 친화수의 엄밀한 정의친화수는 서로 다른 두 자연수 $a$와 $b$가 다음 조건을 만족할 때 성립하는 쌍이다.$a$의 진약수(자기 자신을 제외한 약수)의 합이 $b$와 같다.$b$의 진약수의 합이 $a$와 같다.이를 수학적으로 표현하기 위해, 자연수 $n$의 모든 약수의 합을 나타내는 **약수 함수 $\sigma(n)$**를 사용한다. 진약수의 합은 $\sigma(n) - n$이므로, 친화수 $(a, b)$의 관계는 다음 연립방정식으로 표현된다.$$\sigma(a) - a = b \quad ..

• 

  Gemini&chatGPT 유리수는 자연수와 일대일 대응 두 집합 사이에 일대일 대응인 함수가 존재하면 두 집합은 유한이면 원소의 개수가 같고 무한집합이면 크기가 같다고 말한다. 특히 어떤 무한집합이 자연수의 집합과 일대일 대응이 존재하면 셀 수 있는(countable) 무한집합(가산집합)이라고 말한다. 정수와 유리수의 집합은 셀 수 있는 무한집합이지만 실수는 셀 수 없는(uncountable) 무한집합(비가산집합)이다.셀 수 있는 무한이란 결국 자연수와 일대일 대응하여 번호를 매길 수 있다는 말이다. 먼저 정수는 아래와 같이 배열하면 하나도 빠짐없이 번호를 매길 수 있다.자연수 $\mathbb{N}$12345678$\cdots$정수 $\mathbb{Z}$$0$$1$$-1$$2$$-2$$3$$-3$$4$$\cdots$ℚ (유리수 집합)의 가산성 증명유리수 집합..