수학과 사는 이야기

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미적분Ⅰ 그래프 개형 그리기 정의역이 $X$인 함수 $y=f(x)$의 그래프를 집합으로 엄밀하게 정의하면 아래와 같다.$$G=\{(x,f(x))|x \in X\}\tag{1}$$중·고등학교 수학에서는 이 순서쌍들을 좌표평면 위에 점으로 나타낸 기하학적인 그림(도형)을 통틀어 그래프라 부른다. 이론적으로 주어진 함수식을 만족하는 점을 평면에 찍어나가면 그래프를 그릴 수 있다. 컴퓨터라면 순식간에 무수히 많은 점을 뚝딱 찍어서 그릴 수 있지만 사람은 그렇게 하기가 쉽지 않다. 또한 정확한 그래프가 아닌 개형만 알아도 문제를 해결할 수 있을 때가 많다. 이제 개형을 그릴 때 필요한 몇 가지를 정리해 보자.함수의 그래프 개형을 그릴 때 식을 보자마자 미분부터 시작하는 이들이 많다. 하지만 식 전체의 꼴을 먼저 살피지 않고 도함수 계산에 매..
기하 평면벡터의 내적 평면벡터에서 내적은 두 벡터가 이루는 각과 크기를 하나로 묶어 실수값으로 바꾸는 기본 연산이다. 방향을 지닌 두 대상을 곱하여 방향이 없는 스칼라량을 얻는 셈이다.내적이란?기하 정의영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$($0 \le \theta \le \pi$)라 할 때, 내적 $\vec{a} \cdot \vec{b}$는 다음과 같이 정한다.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vert{}\vec{a}\vert{}\vert{}\vec{b}\vert{}\cos\theta$$어느 한쪽이 영벡터이면 내적값은 $0$으로 정한다.기하 의미: 한 벡터를 다른 벡터 위로 정사영(그림자) 내렸을 때 생기는 부호 달린 길이와, 기준 벡터 길이의 곱..
기하 좌표평면과 좌표공간: 점의 위치를 나타내는 가장 우아한 약속 데카르트가 천장을 기어가는 파리를 눈여겨보다가 좌표를 떠올렸다는 이야기가 있다. 중학교 1학년 때 처음 마주하는 '좌표평면'은 고등학교에 올라가 기하 교과에서 '좌표공간'으로 자연스럽게 넓어진다.쓰임새나 생김새 자체는 싱거울 만큼 쉽고 단순해 보일지 모른다. 하지만 좌표를 길잡이 삼아 세상을 읽어 내는 것과 그렇지 않은 것의 차이는, 그야말로 하늘과 땅 차이다.평면좌표평면 위에 있는 점을 읽는 법도 2가지가 있다. 하나는 이글에서 정리하려는 데카르트 좌표이고 다른 하나는 극좌표이다. 아래 그림에서 왼쪽이 우리에게 익숙한 데카르트 좌표이다. 참고로 다른 좌표계로는 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계 등이 있다. 중학교에서 익혔듯이, 원점에서 수직으로 만나는 두 수직선을 이용해 평면 위의 점을 두 수의 순서쌍..

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