두 수의 크기 비교

두 실수는 항상 크기를 비교할 수 있다. 1학년 책에 나온다.

실수의 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다. 그러므로 $a+(-b)=a-b$는 실수다.

따라서 양수거나 $0$ 또는 음수 셋 가운데 하나이다. 이를 아래와 같이 적을 수 있다.

$a-b > 0 \iff a > b$

$a-b= 0 \iff a = b$

$a-b < 0 \iff a < b$

다른 말로 바꾸면 두 실수 가운데 어느 것이 더 큰 가를 가리려면 빼보면 된다는 것이다. 두 수가 모두 양수라면 적당히 거듭제곱해도 부등호는 바뀌지 않는다. 그런데 두 수를 빼기 어렵다면 나누어 보아도 알 수 있다. $\displaystyle{\frac{a}{b}}$와 $1$을 비교하는 것이다.

$\displaystyle{ \frac{a}{b} > 1 \iff a > b}$

$\displaystyle{\frac{a}{b}= 1 \iff a = b}$

$\displaystyle{\frac{a}{b} < 1 \iff a < b}$

문제 자연수 $n ( n \geq 2 )$에 대하여 직선 $y=-x+n$과 곡선 $y=|\log_2 x|$가 만나는 서로 다른 두 점의 $x$좌표를 각각 $a_n , b_n ( a_n \leq b_n )$이라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [2010학년도 대수능]

보기-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  ㄱ. $\displaystyle{a_2 < \frac{1}{4}}$       ㄴ. $\displaystyle{0< \frac{a_{n+1}}{a_n}<1}$     ㄷ.  $\displaystyle{1-\frac{\log_2 n}{n}< \frac{b_{n}}{n}<1}$
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얼핏 보면 크기를 비교하는 문제라고 느껴지지 않을 수도 있다. 부등호가 들어있으니 당연히 크기를 비교하는 문제로 봐야 한다.