지오데식 돔(geodesic dome)

옛날 어느 왕국에 채 열 살도 되기 전에 유클리드 기하학 원론을 깨우친 아이가 있었다. 소문을 들은 왕은 아이를 불러 시험해 보기로 하였다.
"길이가 12인 밧줄로 둘러쌀 수 있는 가장 큰 도형을 만들어 보아라."

답을 알고 있는가? 증명은 어렵지만 중학교 학생들도 알고 있는 문제다. 둘레의 길이가 일정하다면 넓이가 가장 넓은 도형은 원이다. 마찬가지로 겉넓이가 일정하다면 구형에 가까운 도형일수록 부피가 크다. 이런 수학 원리를 이용하여 구면을 삼각형으로 나눈 형태로 기둥도 없이 내부 공간을 크게 만든 건축물이 있다. 지오데식 돔이 바로 그것이다. 미국 건축가 버크민스터 풀러가 처음 디자인하였다. 

지오데식 돔을 이용하여 구의 겉넓이를 구해보자.

구의 겉넓이와 부피를 구하는 일은 미적분을 배웠다면 아주 간단한 일이지만 중학생 수준에서는 설명하기 매우 어렵다. 중학교 1학년에서는 공식을 그냥 외우게 한다. 하지만 그냥 외우기만 하다 보니 공식을 잊어버린 학생을 자주 만난다. 아래는 중학교 교과서에서 구의 겉넓이를 구하는 방법을 설명하는 과정이다. 

반지름이 $r$이고 겉넓이가 $S$인 구면을 아래 그림과 같이 지오데식 돔과 같이 작은 삼각형 모양으로 나누고 중심과 연결한 삼각뿔 모양으로 자른다고 생각하자. 아주 작은 삼각형으로 나눈다면 구의 겉넓이는 삼각형 넓이의 합과 거의 같고 구의 부피는 삼각뿔 부피의 합과 같다고 할 수 있다.

 

구의 부피 $=\displaystyle{\frac{1}{3}\times}$ 삼각형 넓이의 합 $\times$ 삼각뿔의 높이

              $=\displaystyle{\frac{1}{3}\times}$ 구의 겉넓이 $\times$ 구의 반지름의 길이

$$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{3} S\times r$$

$$S=4\pi r^2$$

이쯤에서 구의 부피를 구하는 공식도 어떻게 만들어졌을까 궁금할 것이다. 카발리에리 원리를 쓰면 된다. 

카발리에리 원리: 두 입체 도형을 정해진 평면과 평행인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이가 이루는 비가 $m:n$이면 부피가 이루는 비도 $m:n$이다.

아래 [그림 1]은 반구이고 [그림 2]는 원기둥에서 원뿔을 덜어낸 도형이다. 두 도형 모두 밑면의 반지름은 $r$이고 높이도 같다. 밑면과 평행하고 거리가 $h$인 평면으로 자른 단면을 살펴보자. 

[그림 1]에서 피타고라스 정리에 따라 단면인 원의 반지름은 $\sqrt{r^2 -h^2}$이다. 따라서 넓이는 $\pi(r^2 -h^2)$.

[그림 2]에서 원뿔의 단면인 원의 반지름은 $h$이다. 따라서 단면의 넓이는 $\pi(r^2 -h^2)$.

그러므로 반구의 부피 $V$는 원기둥에서 원뿔의 부피를 뺀 것과 같다.

 

$$ V=\pi r^2\times r -\frac{1}{3} \pi r^2 \times r= \frac{2}{3} \pi r^3$$

이 방법도 최소한 피타고라스 정리를 배우는 중학교 2학년은 되어야 이해할 수 있다. 결론은 중학교 1학년은 그냥 열심히 외워야 한다. 얼른 고등학생이 되어서 미적분을 배울 날을 간절히 기다리면서 말이다.