2025학년도 대수능 수학 14번

중학교로 와서 3년째라 슬슬 문제 풀이 능력치가 떨어지고 있다. 중학교는 수업 시간에 대부분 시시한 문제만 다루게 된다. 따로 입시가 없으니 난도가 있는 문제를 굳이 다루지 않는다. 어쩌면 학원에서 다루는 난도가 있는 문제도 비비 꼬아 놓기만 한 문제가 대부분이라 다룰 필요도 없다.

어제 치러진 대수능 수학 문제를 풀어 본다. 평가원 발표대로 쉽게 출제하려는 의도가 잘 보인다. 이름도 이상한 킬러 문항은 당연히 없애는 것이 맞다. 하지만 킬러 문항은 그 기준이 모호하다. 대충 100점이 4% 이상이 되어서 1등급이 나오지 않는 사태를 막기 위해 출제하는 초고난도 문제를 일컫는 느낌이다. 그렇다면 100점을 맞는 학생이 4%를 넘어야 킬러 문항이 없었다고 인정할 수 있다.

아무리 쉽게 내도 수학은 수학이다. 평균은 크게 오르지 않을 것으로 본다.

이런 문제는 열심히 공부한 친구에겐 쉬워도 대충 공부한 친구에겐 당연히 어렵다. 문제에 삼각형과 원 그리고 삼각비가 나왔으니 일단 뭔가 어려워 보여서 건너뛴 친구도 있지 않을까 싶다. 중학교 시절 공부하던 느낌대로 고등학교에서 했다가 큰코다치는 까닭이 바로 이런 문제에 있다. 답을 구하는 일도 중요하지만 풀이에 걸리는 시간을 줄이는 일도 매우 중요하다.

삼각형에서 세 변의 길이의 비를 구해야 한다. 세 변의 길이는 대각의 사인값과 비례한다. 바로 사인법칙이다. 외접원의 반지름 $R$까지 나와 있으니 딱 들어맞는다.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\tag{1}$$

이것만 생각해도 자신감이 솟는다.

편하게 나타내기 위해 $\overline{AB}=c, \;\;\overline{BC}=a,\;\;\overline{CA}=b$라고 하자. 이렇게 놓는 것이 국룰이다.

사인법칙 (1)에 따라서 $\overline{AD}=3k,\;\;\overline{DB}=2k$라고 하면 $\overline{BC}=a=8k$이다. 이런 걸 (1)에 수와 문자를 대입하여 계산하기 시작하면 쉽지 않다. 공식의 의미를 파악하여 이해하는 일이 중요한 까닭이다.

$\overline{EC}=mk$라고 하자.

$$\triangle ADE=\frac{1}{2}\overline{AD}\times\overline{AE}\sin A=\frac{3k\cdot 3k}{2}\sin A$$

$$\triangle ABC=\frac{1}{2}\overline{AB}\times\overline{AC}\sin A=\frac{5k(3k+mk)}{2}\sin A$$

$\triangle{ADE}:\triangle{ABC}=9:35$에서 $m=4$임을 쉽게 알 수 있다.

세 변의 길이의 비를 알았으니 이제 비례상수 $k$만 구하면 된다.

먼저 코사인 제2법칙으로

$$\cos A=\frac{(5k)^2+(7k)^2-(8k)^2}{2\cdot 5k\cdot 7k}=\frac{1}{7}\tag{2}$$

$$\therefore \sin A=\frac{4\sqrt 3}{7}$$

다시 (1)에서

$a=2R\sin A=8\sqrt3$이므로 $k=\sqrt3$이다.

거의 다 왔다.

$A$에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하자.

 점 $P$가 직선 $BC$에서 가장 멀리 떨어졌을 때

$$\overline{PH}=3k+\overline{AH}=3\sqrt3+\overline{AH}$$

이다.

$$\triangle ABC=\frac{1}{2}5k\cdot 7k \sin A=\frac{1}{2}8k\overline{AH}$$

$$\overline{AH}=\frac{15}{2}$$

정답은

$$\frac{1}{2}\times 8\sqrt3 \left(\frac{15}{2}+3\sqrt3\right)=36+30\sqrt3$$

(2)와 같은 계산을 할 때 비례상수 $k$를 굳이 쓰지 않는 것만으로도 상당한 시간을 아낄 수 있다.

산술로는 n점짜리는 n분에 풀면 된다. 이 문제는 4분 이내에 늦어도 5분 안에 풀어야 한다.