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다항식의 연산::::수학과 사는 이야기

다항식의 연산

수학이야기/공통수학 2025. 4. 8. 13:31
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고등학교 공통수학은 다항식의 연산으로 시작한다. 어찌 보면 참으로 재미없는 단원이다. 덧셈과 뺄셈은 어려움이 없지만 곱셈은 공식을 외우지 않으면 안 된다. 단순하게 외워도 되지만 서로 관계를 살펴보면 좋다.

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(ab)3=a33a2b+3ab2b3

(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3,(ab)(a2+ab+b2)=a3b3

교과서엔 있는 위와 같은 공식에서 (2)는 아래와 같이 외우면 훨씬 좋다.

(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),(ab)3=a3b33ab(ab)

(4)를 변형하면 아래와 같은 인수분해 공식을 얻을 수 있다.

a3+b3=(a+b)33ab(a+b)=(a+b)(a2+b2ab)

공식은 문제를 쉽게 풀기 위해 외우는 것이다.

예제 x=3+2,y=32일 때, x3+y3의 값을 구하여라.

위와 같은 문제는 무턱대고 대입하여 (3+2)3+(32)3을 계산하지 말고 당연히 (5)를 이용해야 한다.

x+y=23,xy=1이므로

x3+y3=(x+y)33xy(x+y)=(23)33(23)=183이다.

문제 1 x=2+3,y=23일 때, x3y3의 값을 구하여라.

문제 2 x2+y2=6,xy=1일 때, x5+y5의 값을 구하여라. (단, x+y>0)

 

최고난도 문제^^

(6+5)6에 가장 가까운 자연수를 구하시오.
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