다항식의 연산
수학이야기/공통수학 2025. 4. 8. 13:31고등학교 공통수학은 다항식의 연산으로 시작한다. 어찌 보면 참으로 재미없는 단원이다. 덧셈과 뺄셈은 어려움이 없지만 곱셈은 공식을 외우지 않으면 안 된다. 단순하게 외워도 되지만 서로 관계를 살펴보면 좋다.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3,(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
교과서엔 있는 위와 같은 공식에서 (2)는 아래와 같이 외우면 훨씬 좋다.
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),(a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)
(4)를 변형하면 아래와 같은 인수분해 공식을 얻을 수 있다.
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2−ab)
공식은 문제를 쉽게 풀기 위해 외우는 것이다.
예제 x=√3+√2,y=√3−√2일 때, x3+y3의 값을 구하여라.
위와 같은 문제는 무턱대고 대입하여 (√3+√2)3+(√3−√2)3을 계산하지 말고 당연히 (5)를 이용해야 한다.
x+y=2√3,xy=1이므로
x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=(2√3)3−3(2√3)=18√3이다.
문제 1 x=2+√3,y=2−√3일 때, x3−y3의 값을 구하여라.
문제 2 x2+y2=6,xy=−1일 때, x5+y5의 값을 구하여라. (단, x+y>0)
최고난도 문제^^
(√6+√5)6에 가장 가까운 자연수를 구하시오.