테일러 급수

테일러 급수는 원하는 만큼 미분 가능한 함수를 아래와 같이 다항함수의 무한급수로 나타내는 것이다.

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n=c_{0}f(a)+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+c_3(x-a{)}^3+\cdots$$

양변을 미분해 나가며 계수를 구한다.

먼저 $x=a$를 대입하면 $c_0 =1$ 이다.

한번 미분하면

$$f^{\prime }(x)=c_1+2c_2(x-a{)}^1+3c_3(x-a{)}^2+\cdots$$

먼저 $x=a$를 대입하면 $c_1 =f'(a)$ 이다.

두번 미분하면

$$f^{″}(x)=2c_2+3\cdot 2c_3(x-a{)}^1+\cdots$$

먼저 $x=a$를 대입하면 $\displaystyle{c_2 =\frac{f''(a)}{2\cdot1}}$ 이다.

귀납적으로 정리하면 $\displaystyle{c_n =\frac{f^{n}(a)}{n!}}$이다. (단, $f^{n}(x)$은 $n$차 도함수)

따라서 테일러 급수는 아래와 같다.

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^n(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

$a=0$를 맥클라인 급수로 부른다.

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n$$

이 급수를 써서 함수를 다항함수로 비슷한 함수로 나타낼 수 있다.

보기를 들면 $x=0$ 가까운 곳에서 $\sin x$를 7차 다항식으로 나타내면

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$$

이다. 그래프로 비교해보면 거의 비슷하다.