허수의 등장

수학자들이 사랑한 세상에서 가장 아름다운 수식이다.

$$e^{i\pi}+1=0$$

수학에서 중요하게 쓰는 상수가 다섯이나 있다. $0,\,\,1,\,\,\pi,\,\,e$ 그리고 $i$가 있다. 허수단위인 $i$는 고등학교 1학년 공통수학 1에서 처음으로 등장한다.

고대 그리스 헤론이 제곱해서 음수가 되는 수를 기록했지만 쓰이지 않다가 16세기 봄벨리, 카르다노의 책에 등장했다. 데카르트는 깔보는 뜻으로 허수(imaginary number)라고 이름을 붙였다. 음수의 제곱근은 천재 데카르트도 받아들이기 쉽지 않았던 개념인 셈이다. 그 후로 200여년이 지난 18세기 오일러와 가우스가 제대로 사용하기 시작하였다.

허수단위의 등장

방정식은 수의 범위를 확장하면서 발전하였다. 처음에는 자연수와 일차방정식만 있었다.

$$x+5=9\tag{1}$$

$$2x+5=9\tag{2}$$

방정식 (2)는 분수가 필요하다. 유리수가 등장한 까닭이다.

$$x+9=5\tag{3}$$

동양에선 '0'과 음수를 쉽게 받아들여 (3)을 해결했지만 서양에서 꽤나 긴 세월이 필요했다. 

$$x^2 =4\tag{4}$$

$$x^2 =2\tag{5}$$

방정식 (5)는 무리수를 필요로 한다. 유리수와 무리수를 더한 실수체계는 완비성을 갖춘 집합이다.

$$x^2 =-1\tag{6}$$

마침내 마지막 단계다. 방정식 (6)을 완전히 해결하려면 새로운 차원의 수가 필요하다. 일단 허수단위를 아래와 같이 정의한다.

$$i=\sqrt{-1}$$

허수단위의 덧셈과 곱셈은 자연스럽다. 

$$i+i=2i, \, i+i+i=2i+i=3i,\,2i+3i=5i\cdots$$

$$i\times i=i^2 =-1,\,i^3 =-i,\,i^4=1, \,i^5=i,\,i^6=-1\cdots$$

복소수의 등장

복소수란?

실수와 허수단위 $i$를 결합하여 새로운 수를 만든다. 임의의 실수 $a,b$에 대하여

$$a+bi$$

의 꼴로 나타내어지는 수를 복소수(complex number)라 하고, 이때 $a$를 이 복소수의 실수부분 $b$를 이 복소수의 허수부분이라고 한다. $0i=0$으로 정하면 임의의 실수는 허수부분이 $0$인 $a=a+0i$으로 나타낼 수 있으므로 모든 실수는 복소수이다. 한편 실수가 아닌 복소수 $a+bi(b\not=0)$를 허수라고 한다. 실수부분이 $0$인 복소수는 순허수라고 한다.

같은 복소수

두 복소수가 실수부분과 허수부분이 서로 모두 같을 때만 두 복소수가 같다고 말한다.

$a,b,c,d$가 실수일 때, $a=c,\,b=d$이면 $a+bi=c+di$이다.

켤레복소수

복소수 $a+bi$에서 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $a-bi$를 복소수 $a+bi$의 켤레복소수라하고, 기호로

$$\overline{a+bi}$$로 나타낸다.

$$\overline{a+bi}=a-bi$$

사칙연산

$a,b,c,d$가 실수일 때,

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$

성질

모든 실수는 순서(order)가 정해져 있다. 수직선을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

$a,b$가 실수라면 크기를 비교할 수 있어서 $a<b$ 또는 $a=b$ 또는 $a>b$ 가운데 하나가 성립한다.

하지만 복소수 가운데 허수는 수직선 위에 나타낼 수 없으므로 순서를 매길 수 없다. 따라서 $1+i<5+2i$와 같은 부등식은 생각하면 안 된다. 먼 훗날 알게 되겠지만 복소수는 순서를 잃어버리고 방향을 나타낼 수 있게 된다.

자주 나오는 문제

훗날 여러 가지 문제를 해결할 때, 복소수의 곱셈이 가진 성질을 이용하는 기술이 필요하다. 따라서 공통수학 1에서도 복소수의 곱셈 가운데 복소수를 거듭제곱할 때 나타나는 성질을 이용하는 문제가 많이 나온다. 신경 써서 연습하자.

예제 복소수 $\displaystyle{z=\frac{1+i}{\sqrt2}}$일 때, $z+z^2 +z^3+\cdots+z^{15}$의 값을 구하여라.

번거롭지만 가장 확실한 방법은 차례대로 곱하다 보면 뭔가 규칙이 보인다.

$\displaystyle{z^2 =\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^2=i}$,

$z^3 =iz$,

$z^4 =iz^2 =i^2=-1$,

$z^5=-z$,

$z^6 =-i$,

$z^7 =-iz$,

$z^8=1$,

$\vdots$

$$z+z^2 +z^3+\cdots+z^{8}=0$$

한편 $z^8=1$이므로 8을 주기로 같은 일이 되풀이된다.

$$\begin{split}z+z^2 +z^3+\cdots+z^{16}\\= z+z^2 +z^3+\cdots+z^{8} +z^8( z+z^2 +z^3+\cdots+z^{8} )\\=0\end{split}$$

따라서 $$\begin{split}z+z^2 +z^3+\cdots+z^{15}\\= z+z^2 +z^3+\cdots+z^{16}-z^{16}\\= 0-1\\=-1\end{split}$$

조금 더 세련된 풀이는 

$z^4 =-1$을 활용하여 

$$\begin{split} z+z^2 +z^3+\cdots+z^{8} \\=z+z^2 +z^3 +z^4+z^4(z+z^2 +z^3+z^4)\\ =z+z^2 +z^3 +z^4-(z+z^2 +z^3+z^4)\\ =0\end{split}$$

가장 많이 나오는 복소수는 $z^3 =1$이나 $z^3 =-1$인 복소수이다. 

즉, $\displaystyle{\omega=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}}$이면 $\displaystyle{\omega^2 =\frac{-1-\sqrt3 i}{2}=\overline{\omega}}$이고 $\omega^3 =1$이다. 3을 주기로 $\omega, \overline{\omega},1$이 순환하고 $\omega^2 +\omega+1=0$이다. 이 녀석 삼차방정식의 근의 공식에도 등장하는 엄청나게 많이 쓰는 복소수이다.