거리를 나타내는 기호 절댓값

현재 위치에서 500m 이내에 있는 카페는 모두 몇 개일까?

지도를 열어 표시할 때 자연스럽게 반경 500m인 원을 생각하게 된다.

거리를 계산할 때 방향은 따지지 않는다. 어렵게 말하면 벡터와 스칼라로 구분할 수 있지만 중학생이나 고등학교 1학년 학생에겐 굳이 필요할 개념은 아니다. 어쨌든 수학에서 거리를 나타내는 기호가 필요하다.

곧바로 평면에서 생각하면 너무 어려우므로 중학교 1학년에서 수직선 위에 있는 점 사이의 거리를 나타내는 기호로 절댓값을 도입한다. 중학교 수준의 기하에선 부호를 생각하지 않는다. 하지만 고등학교에선 다르다.

중학교 3학년에서 제곱근을 배울 때, 근호 안에 있는 수는 양수임을 전제로 배운다. 하지만 고등학교에선 근호 안에 음수가 되는 허수를 배운다. 이렇게 음수까지 생각하기 시작할 때가 어떤 학생들에게는 수학이 갑자기 어려워진다.

좌표가 양수만 나오는 제1사분면만 생각하다가 음수가 있는 사분면에 있는 점을 다루기 시작하면 모든 것이 어려워진다.

위 그림에서 피타고라스 정리로 $\overline{OA}=\sqrt{x^2 +y^2}$임을 쉽게 알 수 있다. 마찬가지로  $\overline{OA}=\sqrt{x^2}=x$임을 쉽게 생각할 수 있다. 하지만 $\overline{OC}=\sqrt{x^2}=-x$임은 쉽지 않다.

$\sqrt{x^2}$은 무엇인가?

중학생은 보통 $x$라고 답한다. 잘 생각해 보라고 하면 $\pm x$라고 말하기도 한다. 이것은 아마도 중학교에서 $x \geq 0$일 때만 생각하던 버릇이 남아서 일 것이다. 이떄는 아래와 같이 숫자를 넣어서 생각해 보아야 한다.

$$\sqrt{2^2}=2, \,\,\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$$

정리해 보자. 

$$\sqrt{x^2}=\begin{cases}x\,\,\, &(x \geq 0)\\-x\,\,\,&(x<0)\end{cases}$$

너무 길다. 이것을 기호로 $\sqrt{x^2}=|x|$로 적은 것이다.

$$|x|=\begin{cases}x\,\,\, &(x \geq 0)\\-x\,\,\,&(x<0)\end{cases}$$

음수의 절댓값을 계산할 때 음의 부호 $-$를 떼어낸다고 생각하지 말고 $-1$를 곱해서 양수를 만든다고 생각하자. 즉 $|-2|=-(-2)=2$

수학을 잘하기 위해선 항상 양수와 음수를 함께 생각해야 함을 명심하자.

절댓값이 들어 있는 부등식

수학 문제를 어렵게 만드는 방법이 여럿이다. 대표적인 방법은 학생들이 깊이 생각해 보지 않는 기호를 섞어서 문제를 만드는 것이다. 절댓값 기호 $|\,\,|$가 대표적이다. 간단한 일차부등식에 절댓값을 넣으면 제법 복잡한 문제가 된다.

$$|x| \leq 2,\,\,|x| >3\tag{1}$$

$$|x-2| \leq 2,\,\,|x-2| >3\tag{2}$$

절댓값이 하나만 있다면 식은 죽 먹기지만 둘이라면 문제가 달라진다.

$$|x|+|x-2| \leq 4\tag{3}$$

먼저 $|x-2|$는 아래와 같이 바꿀 수 있다. 

$$|x-2|=\begin{cases}x-2\,\,\,\,\,\, &(x-2 \geq 0)\\-(x-2)=2-x\,\,\,\,\,\,&(x-2<0)\end{cases}$$

이것은 결국 수직선 위에서 $x$와 $2$에 대응되는 점 사이의 거리를 나타낸다. 거리는 큰 수에서 작은 수를 뺀 것으로 생각하면 된다. 결국 괄호 (  ) 안을 쉽게 생각할 수 있어야 문제도 쉽게 해결할 수 있다.

$$|x-2|=\begin{cases}x-2\,\,\,\,\,\, &(x \geq 2)\\2-x\,\,\,\,\,\,&(x<2)\end{cases}$$

교과서에 나오는 풀이

(3)을 보면 기준이 되는 점이 $0$과 $2$ 둘이므로 수직선을 셋으로 잘라서 생각해야 한다.

i) $x<0$일 때, $|x|+|x-2|=2-2x<4$에서 $-1\leq x$이므로 $-1\leq x <0$다.

ii) $0\leq x<2$ 일 때, $|x|+|x-2|=2<4$에서 $0\leq x<2$이다.

iii) $2\leq x$ 일 때, $|x|+|x-2|=2x-2<4$에서 $2\leq x\leq 3$이다.

최종 정답은 $-1\leq x \leq 3$이다.

 

다른 풀이

부등식 (3)을 기하적으로 생각해 보자.

$|x|$는 0과 $x$ 사이의 거리이고 $|x-2|$는 2와 $x$ 사이의 거리이다. 따라서 $x$에서 0과 2까지 거리의 합이 4 이하인 점을 찾는 것으로 해석할 수 있다. 당연히 기준점에서 멀어질수록 거리는 한없이 커진다. 따라서 경계가 되는 때만 잘 구해도 답을 찾을 수 있다. 

방정식 $|x|+|x-2|=4$를 풀면 경계가 나온다. $-x-x+2=4$에서 $x=-1$, $x+x-2=4$에서 $x=3$을 얻는다. 거리가 4보다 작거나 같아야 하므로 직관적으로 $-1\leq x \leq 3$를 찾을 수 있다.

결국 경계를 찾는 문제로 바꾸어 생각하면 좀 더 빠르게 해를 찾을 수 있다. 이어지는 그래프를 이용한 풀이도 좋은 방법이다.

 

절댓값이 들어 있는 방정식의 그래프

$y=|x|$의 그래프는 아래와 같다.

$x\geq 0\Rightarrow y=x$, $x< 0\Rightarrow y=-x$

참고: $y$의 값은 $0$과 $x$ 사이의 거리에 정비례한다.

$y=|x-2|$의 그래프는 아래와 같다.

$x\geq 2\Rightarrow y=x-2$, $x<2\Rightarrow y=-x+2$

참고: $y$의 값은 $2$와 $x$ 사이의 거리에 정비례한다.

$y=|x|+|x-2|$의 그래프는 아래와 같다.

i) $x<0\Rightarrow y=-2x+2$

ii) $0\leq x<2\Rightarrow y=2$

iii) $2\leq x \Rightarrow y=2x-2$

그래프를 이용한 부등식의 풀이

▶ 부등식 (3)은 방정식 $y=|x|+|x-2|$ 의 그래프가 직선 $y=4$보다 아래에 있는 $x$ 값의 범위를 찾는 것과 같다.

방정식 $y=|x|+|x-2|$의 그래프를 빨리 그리는 방법

기본 개념: 우변을 절댓값이 없는 꼴로 나타내면 항상 1차식이므로 그래프는 직선이다. 기준이 되는 점으로 나뉜 구간별로 기울기가 달라지므로 기준선을 경계로 꺾인 직선이 될 것이다.

1) 꺾이는 점을 찾는다. $x=0$일 때와 $x=2$일 때가 꺾이는 점이다. 즉 $(0,2)$와 $(2,2)$에서 꺾인다.

2) 기준에서 멀어질수록 거리가 한없이 커지므로 아래로 볼록한 형태로 그리면 된다.

예제 부등식 $|x+1|+|x-2|\leq 5$를 푸시오.

풀이법: 방정식 $y=|x+1|+|x-2|$의 그래프를 그리고 $y=5$보다 아래인 부분을 찾는다.

1) $(-1,3)$과 $(2,3)$을 찍는다. 양쪽 가장자리는 각각 위쪽으로 올라가는 모양이 되고 두 점에서 꺽이는 세 직선을 그리면 된다.

2) 직선 $y=5$와 만나는 점의 $x$좌표를 찾는다. $-2x+1=5$와 $2x-1=5$에서 $x=-2$와 $x=3$을 얻는다.

3) 해가 되는 부분을 찾는다. $-2<x<3$이다. 적당한 수를 대입하면 쉽게 찾을 수 있다.

연습문제 부등식 $|2x-1|+|x+2|\leq 5$를 푸시오.

 

손글씨로 정리