데카르트가 시작한 해석 기하학

르네 데카르트( René Descartes 31 March 1596 – 11 February 1650 )는 많은 업적을 남겼다. 그 가운데 해석 기하학을 창조해낸 것이 으뜸이다. 기하를 대수로 새롭게 해석하는 것에서 시작해서 함수를 정의하고 미적분으로 나아감으로써 셀 수 없이 많은 창조가 이루어졌다. 그가 남긴 말을 옮겨 적는다. "생각한다. 고로 나는 존재한다."

그가 우리에게 선물한 좌표계( Cartesian coordinate system )는 진짜 강력한 도구를 선물해 준다. 데카르트는 몸이 약해 침대에 누워 생각하는 때가 많았다고 한다. 어느 날 천장을 기어 다니는 파리의 자취를 대수적으로 표현하는 방법을 생각하다가 좌표계를 만들어냈다고 한다. 그는 말했다. "자연 현상을 설명하는 데 필요한 다른 수학을 연구하기 위하여 나는 추상기하학만을 이용하려는 생각을 포기하기로 하였다." 유클리드 기학학을 포기하고 그는 새롭게 세상을 해석하는 코디네이터가 되었다.

$\triangle{PAB}$에서 점 $M$이 $\overline{AB}$의 중점이라고 하면 아래와 같은 등식이 성립한다.

$$\overline{PA}^2 +\overline{PB}^2 =2(\overline{PM}^2 +\overline{AM}^2 )$$

중선 정리(Pappus's Theorem)를 증명해 보자. 추상 기하로 증명하는 일도 그다지 어렵지 않지만 아래와 같이 적당하게 좌표축만 잡고 해석하면 아주 쉽게 증명할 수 있다.

증명 문제라고 당황하지 말고 그냥 $M$을 원점으로 $P(a,b),\;\;A(-c,0),\;\;B(c,0)$ 놓기만 하면 끝.

 

원뿔곡선들을 방정식으로 써보면 모두 2차방정식으로 쓰여진다. 초점을 찾는 일도 접선을 구하는 일도 모두 대수 방정식을 푸는 일이 되었다. 이 얼마나 신기한 일인가? 데카르트 말대로 좌표계는 우리에게 세상을 해석하는 새롭고 강력한 도구가 되었다.

데카르트가 쓴 논문 "방법서설"은 제목이 아주 길다. 모두 다 적으면 《이성을 올바르게 이끌어, 여러 가지 학문에서 진리를 구하기 위한 방법의 서설 (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la verité dans les sciences)》이다. 아래와 같은 여섯 가지 장으로 이루어져 있다.

1. Various considerations touching the Sciences
2. The principal rules of the Method which the Author has discovered
3. Certain of the rules of Morals which he has deduced from this Method
4. The reasonings by which he establishes the existence of God and of the Human Soul
5. The order of the Physical questions which he has investigated, and, in particular, the explication of the motion of the heart and of some other difficulties pertaining to Medicine, as also the difference between the soul of man and that of the brutes
6. What the Author believes to be required in order to greater advancement in the investigation of Nature than has yet been made, with the reasons that have induced him to write