횔더의 부등식

다음 정리에 나오는 부등식을 횔더 부등식 ($H\ddot{o}lder's \;\;\; inequality$)으로 부른다.

$$\mathrm{\forall }(x_1,x_2,\cdots ,x_n),(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n,p,q\in (1,\mathrm{\infty }),\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

$$⟹\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\le {\left(\sum _{i=1}^n{|x_i|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{|y_i|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}(i=1,2,\cdots ,n)$$

증명) $|x_i|=a_i,\;\; |y_i|=a_i,\;\;f(x)=x^{\frac{1}{p}}$로 하자.

$f(x)=x^{\frac{1}{p}}$는 $x>0$에서 위로 볼록한 함수(오목)이므로 젠센 부등식에의해

$${\lambda }_i>0,\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1,x_i>0⟹\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x_i}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)}^{\frac{1}{p}}$$

이제 $\displaystyle{{a_i }^p =A_i, \sum_{i=1}^{n}{a_i}^p =\sum_{i=1}^{n} A_i =A}$

$\displaystyle{{b_i }^p =B_i, \sum_{i=1}^{n}{a_i}^q =\sum_{i=1}^{n} B_i =B}$

$\displaystyle{\lambda_i =\frac{B_i}{B}}$라고 하면 위에 적은 젠센부등식에 따라

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^n{A_i}^{\frac{1}{p}}{B_i}^{\frac{1}{q}}=\sum _{i=1}^n{A_i}^{\frac{1}{p}}{B_i}^{1-\frac{1}{p}}=\sum _{i=1}^n{B}_i{\left(\frac{A_i}{B_i}\right)}^{\frac{1}{p}} \\ =B\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\left(\frac{A_i}{B_i}\right)}^{\frac{1}{p}}\le B{\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\frac{A_i}{B_i}\right)}^{\frac{1}{p}}=B{\left(\sum _{i=1}^n\frac{A_i}{B}\right)}^{\frac{1}{p}} \end{gathered}$$

$$=B^{1-\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{A}_i\right)}^{\frac{1}{p}}=A^{\frac{1}{p}}{B}^{\frac{1}{q}}={\left(\sum _{i=1}^n{a_i}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{b_i}^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$

$$\therefore \sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\le {\left(\sum _{i=1}^n{|x_i|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{|y_i|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}(i=1,2,\cdots ,n)$$

이 부등식에서 $p=q=2$일 때는 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwartz) 부등식이다.

$${\left(\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{|x_i|}^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{|y_i|}^2\right)(i=1,2,\cdots ,n)$$