벡터 공간(vector space)

크기와 방향을 가진 값을 수학에서 다룰 때 벡터로 다루면 편하다. 벡터 공간(vector space)은 따로 공리를 가지고 있지만 고등학교에선 유클리드 평면벡터, 공간벡터만 다루고 있다. 유클리드 벡터를 나타내기 위해 방향이 있는 선분(화살표)을 주로 사용한다. 그러므로 이제부터 벡터는 화살표라고 정의하자.

뉴턴(Isaac Newton ; 1642~1727)은 물체의 운동과 속도, 힘을 화살표로 나타냈는데 이것이 벡터의 시초다. 가우스를 거쳐 아일랜드 수학자 해밀턴(Hamilton, W.R. ; 1805~1865)이 1844년 발표한 논문에서 처음으로 벡터와 스칼라라는 말을 쓰기 시작했다. 그는 위치벡터의 개념을 창안하여 벡터를 좌표와 대응시켜 벡터공간의 기초를 다졌다. 복소수를 확장한 '사원수(Quaternions)'를 고안했다. 아내와 함꼐 다리를 건널 때 갑자기 떠오른 생각을 정리할 필기구가 없었던 그는 주머니칼로 돌다리에 새겨 두고 나중에 다시 돌아와 옮겨갔다는 일화가 있다. 1958년 수학자이며 수상이었던 발레라(Valera, E. ;1882~1975))가 이를 기념하여 다리에 명패를 붙였다고 한다. 

벡터 공간 공리보기

어떤 체 $F$ 위에 집합 $V$가 아래 8가지 공리를 만족하면 벡터공간이라고 한다. $F$의 원소는 스칼라(scalar) $V$의 원소는 벡터(vector)로 부른다.

$\forall \mathbf{u,v,w} \in V, \;\;a,b \in F$에 대하여 $\mathbf{u+v} \in V,\;\; a\mathbf{v} \in V$이고

1. $\mathbf{u+(v+w)=(u+v)+w}$
2. $\mathbf{u+v=v+u}$
3. $ \forall \mathbf{v} \in V$에 대하여 $\mathbf{v+0=v}$인 $\exists \mathbf{0}\in V$ $\mathbf{0}$ :영벡터(zero vector)
4. $\forall \mathbf{v} \in V$에 대하여 $\mathbf{v+(-v)=0}$인 $\exists \mathbf{-v}\in V $ 덧셈에 대한 역벡터
5. $(ab)\mathbf{v}=a(b\mathbf{v})$
6. $\forall \mathbf{v}\in V$에 대하여 $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$인 $\exists 1 \in F$
7. $a\mathbf{(u+v)}=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}$
8. $(a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}$

유클리드 좌표공간, 복소수, 일차방정식, 행렬 따위가 대표적인 벡터 공간이다.

정의 1

$V$는 $K$ 위의 벡터공간일 때, $\forall \mathbf{v}\in V$를 $\mathbf{u}_i \in V(i=1,2,\cdots,n)$가 일차결합(linear combination)으로 나타낼 수 있다면 $\mathbf{u}_i \in V(i=1,2,\cdots,n)$가 $V$를 생성(span)한다 또는 생성 집합이라고 한다. 

즉 $\forall \mathbf{v}\in V$에 대하여 $\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1 +a_2\mathbf{v}_2 +\cdots+a_n\mathbf{v}_n$인 $ \exists a_i \in K$

정의 2

벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 다시 벡터공간이 되면 부분공간이라고 부른다.

정의 3

$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_m \in V$에 대하여  $a_1\mathbf{v}_1 +a_2\mathbf{v}_2 +\cdots+a_m\mathbf{v}_m=\mathbf{0}$를 만족하는 적어도 하나는 $0$ 이 아닌 $a_1, a_2,\cdots,a_m \in K$가 존재하면 선형 의존(linearly dependent)이라고 하고 그렇지 않으면 선형 독립(linearly independent)이라고 한다. 

 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_m \in V$가 독립이고 $a_1\mathbf{v}_1 +a_2\mathbf{v}_2 +\cdots+a_m\mathbf{v}_m=\mathbf{0} \implies \forall i (i=1,2,\cdots ,m),\;\; a_i =0$

정의 4

$V$의 부분집합 $S=\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots \mathbf{u}_n \}$가 독립이고 $V$를 생성하면 $V$의 바탕(basis)이라고 부른다. 바탕의 원소의 개수가 벡터공간의 차원이다. $dim V = n(S)$이다.

벡터를 처음 시작할 때 우리가 쉽게 이해할 수 있는 화살표로 다룬다. 유클리드 평면이나 공간에 있는 벡터를 살펴보면서 벡터를 공부하자. 먼저 크기와 방향을 한꺼번에 나타내야 한다.

 

그림과 같이 점 $A$를 시작점 $B$를 끝점으로 하는 화살표를 벡터 $AB$로 부르고 기호로 $\overrightarrow{AB}$로 쓰기로 하자. 화살 방향을 벡터 방향으로 생각하고 화살표 길이를 벡터의 크기로 한다.

벡터 크기는 $|\overrightarrow{AB}|$로 쓴다. 시작과 끝점이 같은 벡터는 영벡터($\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$)이고 크기는 $0$이다.

시작과 끝을 나타낼 필요가 없을 때에는 $\vec{v}$나 위에 화살표를 쓰지 않을 때에는 스칼라($a,b,c,\cdots$)와 구별하기 위해 벡터는 두꺼운 글꼴($\mathbf{u,v,w,\cdots})$로 적는다.

벡터의 덧셈과 실수배

정의 크기와 방향이 같은 벡터는 같은 벡터이다.

덧셈과 스칼라배(scalar multiple)는 그림과 같이 정의한다.

$k\mathbf{v}$는 $k>0$일 때는 $\mathbf{v}$와 같은 방향 $k<0$는 반대방향이고 크기는 $|k||\mathbf{v}|$인 벡터이다. $k=0\implies k\mathbf{v=0}$에서 마지막 $0$은 영벡터이다. 크기가 $1$인 벡터는 단위벡터로 부른다.

먼저, 정의된 벡터의 덧셈이 공리를 만족하는가 확인하자.

$$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$$

$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{v}+(\mathbf{u}+\mathbf{w})$$

 

유클리드 벡터 공간은 아래와 같이 적을 수 있다.

$$\mathbb{R}^{n} = \{(x_1, x_2,\cdots,x_n)|x_i \in \mathbb{R} ,\quad n\in \mathbb{N} \}$$

$n=2$일 때는 평면 벡터, $n=3$일 때는 공간 벡터이다. 평면 좌표, 공간 좌표와 다르지 않음을 알 수 있다.

정의대로 크기와 방향이 모두 같은 벡터는 서로 같은 벡터이다.

그림에서 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}$이다.

한편, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$이다.

따라서 평면 위에 모든 벡터는 적당한 점 $O$를 시작점으로 하는 벡터로 표현할 수 있다. 원점을 시작점으로 하는 벡터를 위치 벡터(position vector)라고 한다. 위치 벡터는 굳이 시작점을 쓸 필요가 없으므로 끝점만으로 벡터를 나타낼 수 있다.

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$$

정의 영벡터가 아닌 두 벡터 $\mathbf{u,v}$가 방향이 같거나 반대일 때, 두 벡터는 평행하다고 하고 기호로 $\mathbf{u//v}$로 적는다.

벡터의 성분 표시

벡터의 바탕은 모든 벡터를 생성한다. 다시 말하면 모든 벡터는 벡터 공간의 바탕(bases) 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 2차원 평면 벡터에서 $(1,0),(0,1)$을 끝점으로 하는 위치벡터를 각각 $\mathbf{e_1, e_2}$라고 하면 $\{\mathbf{e_1 , e_2} \}$는 바탕이 된다. 이때 임의의 벡터는 모두 이 두 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

$\mathbf{a}=a_1 \mathbf{e_1} +a_2 \mathbf{e_2}$일 때, $\mathbf{a}$는 $(a_1, a_2)$로 쓰고 이를 성분표시라고 한다.

벡터를 성분으로 표시하면 다루기 매우 쉽기에 수학에서는 화살표가 아닌 성분으로 다룬다.

예를 들면, 벡터 덧셈은 $\mathbf{a+b}=(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1 +b_1 ,a_2 +b_2 )$이고 실수배는 $k\mathbf{a}=k(a_1,a_2)=(ka_1 ,ka_2 )$이다.