큐브 공식::::수학과 사는 이야기

루빅스 큐브는 정육면체에 여섯 가지 색을 입힌 것이다. 같은 색깔이 9개씩 54개 이지만 함께 움직이는 걸 고려하면 꼭지 조각(vertic piece) 8개, 모서리 조각(edge piece) 12개, 면 조각(face piece) 6개 모두 26로 이루어져 있다. 이제 이를 회전하여 만들 수 있는 서로 다른 큐브는 모두 몇 개일까 세어 보자.

색깔마다 번호를 붙이자. 펼친 그림은 아래와 같다.

먼저 순서를 생각하지 않는다면

꼭지 조각은 $\{A125,M123,L134,I145,J526,N236,K346,D456\}$이다.

면$F$를 시계방향으로 회전하는 것는 $M\rightarrow L \rightarrow K \rightarrow N$처럼 순열로 나타낼 수 있다.

색의 순서는 $120^o$씩 회전하는 3가지가 있다.

모서리 조각은 $\{12,13,14,15,25,23,26,34,36,45,46,56\}$이고 마찬가지로 회전하는 것은 순열로 나타낼 수 있고 색은 $180^o$회전하는 2가지가 있다.

면 조각은 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 으로 생각할 수 있는데 회전해도 움직이지 않는다.

면 조각은 고정된 것으로 보고

먼저 꼭지 조각이 자리를 바꾸는 것은 $8!$, 정해진 자리에서 한 꼭지를 고정하고 나머지 꼭지가 순서를 바꾸는 경우는 $3^7$이므로 $8!\times 3^7$이다. $3^8$이 아닌 까닭은 꼭지 $7$개가 정해지면 나머지 하나는 고정되기 때문이다. 다시말해 $3^8$ 안에는 꼭지 조각 하나만 잡고 돌리는 것까지 포함되어 있는 것이다.

모서리는 자리를 바꾸는 경우는 $\displaystyle{\frac{12!}{2}}$, (두 꼭지와 면 사이에 넣을 때 꼭지가 자리를 바꾸더라도 같은 경우이므로 $2$로 나눈다.) 마찬가지로 순서가 바뀌는 경우는 $2^{11}$이므로 $\displaystyle{\frac{12!}{2}\times 2^{11}}$이다.

그러므로 모든 경우의 수는 $8!\times 3^7 \times \displaystyle{\frac{12!}{2}}\times 2^{11}=43,252,003,274,489,856,000$이다.

대략 $4325\times 10^{16}$, $4325$경이라니 정말 엄청나게 큰 수이다.

더욱 놀라운 것은 아무리 어려운 경우라도 20번 움직이면 맞출 수 있음을 증명했다는 것이다. (아래 신의 수 20을 참고하라.)

http://www.cube20.org/

큐브를 맞추는 공식은 아래를 보면 된다. 물론 신처럼 20번이하로 맞추려면 엄청나게 많은 공식을 외워야 하지만 대충 100번쯤 움직여 맞추는 것은 그리 어렵지 않다.

공식은 $FR'D\cdots$처럼 쓰는데 위(UP), 아래(DOWN), 앞(FRONT), 오른쪽(RIGHT), 뒤(BACK), 왼쪽(LEFT)의 머리글자를 딴 것이고 "$\prime$"이 있으면 시계 반대방향으로 없으면 시계방향으로 돌리면 된다.

http://rubiks.com/