헬더의 부등식

$\displaystyle{a_i >0\;\;b_i >0\;(i=1,2,3,\cdots,n)}$이고 $\displaystyle{p>0,q>0,\;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$일 때, 다음 부등식이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}\bigg(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^q\bigg)^{\frac{1}{q}}$$

증명) $\displaystyle{0<\frac{1}{p}<1}$이므로 $f(x)=x^{\frac{1}{p}}$은 $x>0$에서 위로 볼록한 함수이다.

따라서, 젠센부등식( http://suhak.tistory.com/221 )에 의하여

$\displaystyle{\lambda_i >0,\;\;\sum_{i=1}^{n}\lambda_i =1}$일 때, $x_i >0$이면

$$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i {x_i}^{\frac{1}{p}}\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i}x_i\bigg)^{\frac{1}{p}}$$

이 성립한다. 여기서 $i=1,2,3,\cdots,n$에 대하여

$\displaystyle{{a_i}^p =A_i,\;\;a_i={A_i}^{\frac{1}{p}}\;\;\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p =\sum_{i=1}^{n} A_i =A}$

$\displaystyle{{b_i}^q =B_i,\;\;b_i={B_i}^{\frac{1}{q}}=B_i {B_i}^{-\frac{1}{p}}\;\;\sum_{i=1}^{n}{b_i}^p =\sum_{i=1}^{n} B_i =B}$

$\displaystyle{\lambda_i =\frac{B_i}{B}}$

라 하면 $\displaystyle{\lambda_i >0,\;\sum_{i=1}^{n}{\lambda=1}}$이다. 따라서

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i=\sum_{i=1}^{n} {A_i}^{\frac{1}{p}} {B_i}^{1-\frac{1}{p}}=\sum_{i=1}^{n}B_i \bigg(\frac{A_i}{B_i}\bigg)^{\frac{1}{p}}=B\sum_{i=1}^{n}\lambda_i \bigg(\frac{A_i}{B_i}\bigg)^{\frac{1}{p}}\leq B\bigg(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i \frac{A_i}{B_i}\bigg)^{\frac{1}{p}}}$

$\displaystyle{=B\bigg(\sum_{i=1}^{n} \frac{A_i}{B}\bigg)^{\frac{1}{p}}=B^{1-\frac{1}{p}}\bigg(\sum_{i=1}^{n}A_i\bigg)^{\frac{1}{p}}=A^{\frac{1}{p}}B^{\frac{1}{q}}=\bigg(\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}\bigg(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^q\bigg)^{\frac{1}{q}}}$

등호는 $\displaystyle{\frac{A_i}{B_i}=\lambda}$(일정)일 때 성립하므로 ${a_i}^{p}=\lambda{b_i}^{q}$일 때 성립한다.

이 부등식을 헬더($H\ddot{o}lder$) 부등식이라 한다.

헬더부등식에서 $p=q=2$라고 하면 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwartz)의 부등식이다.

$$\bigg(\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^{n} {b_i}^2\bigg)\geq\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i \bigg)^2$$

바깥고리 http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder%27s_inequality

민코우스키 부등식

$\displaystyle{a_i >0\;\;b_i >0\;(i=1,2,3,\cdots,n),\;\;p>1}$일 때, 다음 부등식이 성립한다.

$$\bigg(\sum_{i=1}^{n} (a_i +b_i)^{p}\bigg)^{\frac{1}{p}}\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}+\bigg(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}$$

단, 등호는 $b_i=\lambda a_i(\lambda$는 상수, $i=1,2,3,\cdots,n$)일 때 성립한다.

먼저 헬더의 부등식을 다음과 같이 바꾼다.

$$\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{x_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}\bigg(\sum_{i=1}^{n}{y_i}^q\bigg)^{\frac{1}{q}}, \;\;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

여기서 $x_i =a_i , \;\;y_i =(a_i +b_i )^{p-1}$이라 하면 $(p-1)q=p$이므로

$$\sum_{i=1}^{n} a_i (a_i +b_i )^{p-1}\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}\bigg(\sum_{i=1}^{n}{(a_i +b_i )^{p}}\bigg)^{\frac{1}{q}}-----(1)$$

여기서 $x_i =b_i , \;\;y_i =(a_i +b_i )^{p-1}$이라 하면 $(p-1)q=p$이므로

$$\sum_{i=1}^{n} b_i (a_i +b_i )^{p-1}\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}\bigg(\sum_{i=1}^{n}{(a_i +b_i )^{p}}\bigg)^{\frac{1}{q}}-----(2)$$

(1)+(2)하면

$$\sum_{i=1}^{n}  (a_i +b_i )^{p}\leq \left\{ \bigg(\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}+ \bigg(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^p \bigg)^{\frac{1}{p}}\right\}\bigg(\sum_{i=1}^{n}{(a_i +b_i )^{p}}\bigg)^{\frac{1}{q}}$$

$$\therefore\;\;\bigg(\sum_{i=1}^{n} (a_i +b_i)^{p}\bigg)^{\frac{1}{p}}\leq\bigg(\sum_{i=1}^{n}{a_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}+\bigg(\sum_{i=1}^{n}{b_i}^p\bigg)^{\frac{1}{p}}\;\;(\because \frac{1}{p}=1-\frac{1}{q})$$

이 부등식이 민코우스키(Minlowski) 부등식이다.

특히, $p=2$일 때, $x=(a_1, a_2, c\cdots,a_n), y=(b_1 ,b_2 ,\cdots, b_n )$인 벡터로 생각하면

$$||x+y||=||x||+||y||$$

이다. 이를 삼각부등식으로 부른다.