3. Differentiation

Definition The slope of curve $y=f(x)$ at the point $(x_0,f(x_0))$ is the number

$$m=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$$

The tangent line to the curve at $P$ is the line through $P$ with this slope

함수 $y=f(x)$에서 $x=x_0$일 때, 미분계수(derivative of f at $x=x_0$) $f  ' (x_0)$를 아래와 같이 정의한다.

$$f  ' (x_0) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

$x=x_0$와 미분계수 $f ' (x_0)$ 사이 함수 다시 말하면 함수 $f ' : x \rightarrow f '(x)$를 함수 $f(x)$의 도함수(derivative of $f$)라고 한다.

$$f  ' (x) =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$$

기호로 $ \displaystyle{f  '(x) , \;y ' ,\; \frac{dy}{dx}   ,\; \frac{d}{dx}f(x)}$로 적는다. 여러 가지 표현이 있는 까닭은 라이프니츠, 라그랑제, 뉴튼, 오일러가 각기 다른 표현을 썼기 때문이다. 도함수(derivative of $f$)를 구하는 것을 미분한다(diffentiation)고 하고 그 계산법을 미분법으로 부른다. (변수 $dy$를 $dx$로 나눈 것으로 생각해도 되지만 $d/dx$가 $x$에 대한 미분을 뜻하고 있으므로 읽을 때는 그냥 'dy dx'로 읽는다.)

자르는 선(secant line)

접선(tangent line)

미분

위 정의는 아래와 같이 적을 수 있다.

$$f^{\prime}(x)=\lim_{z\rightarrow x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$$

Theorem If $f$ has a derivative at $x=c$, then $f$ is continuous at $x=c$

proof

$\exists f^{\prime}(c),\;\;h \not=0$

$$f(c+h)=f(c)+(f(c+h)-f(c))=f(c)+\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\cdot h$$

$$\lim_{h\rightarrow 0}f(c+h)=\lim_{h\rightarrow 0}f(c)+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}h=f(c)+f^{\prime}(c)\cdot 0=f(c)$$

합성함수의 미분

Theorem - The Chain Rule

If $f(u)$ is differentiable at the point $u=g(x)$ and $g(x)$ is differentiable at $x$, then the composite function $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ is differentiable at $x$, and

$$(f\circ g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

두 함수 $y=f(u), \;\;u=g(x)$가 모두 미분가능하다고 하자.

$ y=f(g(x))$의 도함수는 정의에 따라 아래와 같다.

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(g(x+ \Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}$$

$x$의 증분 $\Delta x$에 대하여 $u$의 증분 $\Delta u$라고 하자.

$\Delta u=g(x+ \Delta x)-g(x)$이므로 $g(x+\Delta x)=u+\Delta u$이다.

따라서,

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(g(x+ \Delta x))-f(g(x))}{g(x+ \Delta x)-g(x)}\cdot \frac{g(x+ \Delta x)-g(x)}{\Delta x} $$

두 함수가 모두 미분가능하고 $g$가 연속이므로 $\Delta x \rightarrow 0$일 때.  $\Delta u \rightarrow 0$이다.

$$\lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{f(u+ \Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{g(x+ \Delta x)-g(x)}{\Delta x}$$

이다. 따라서

$$y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$이다.

다른 표현으로 적는다면

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

음함수의 미분(Implicitly Defined Functions)

방정식 $f(x,y)=0$에서 $x,y$가 정의되는 구간을 적당히 정하면 $y$를 $x$의 함수로 생각할 수 있다. 예를 들면 $x^2 +y^2 -1=0$은 원의 방정식이다. 여기서 $y \geq 0$으로 생각한다면 $y=\sqrt{1-x^2}$이다. 이와같이 $y$는 $x$의 함수로 생각할 수 있다. $y \leq 0$일 때는 $y=-\sqrt{1-x^2}$이다.

방정식 $f(x,y)=0$에서 $y$를 $x$의 함수로 생각할 때, 이 방정식을 $y$의 $x$에 대한 음함수 표현이라고 한다.

음함수 표현을 언제나 양함수로 쉽게 고칠 수 있는 것은 아니다. 음함수 미분은 굳이 양함수로 고치지 않고 $y$를 $x$의 함수로 보고 합성함수의 미분을 써서 그대로 미분하는 것이다.

$y=\sqrt{1-x^2}$에서 $\displaystyle{y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}$로 구하는 것과 음함수 표현 $x^2 +y^2 -1=0$에서 미분한 결과가 다르지 않다.

$$\displaystyle{\frac{dx^2}{dx} +\frac{d y^2}{dx}=0}$$

$$\displaystyle{2x +2y \frac{d y}{dx}=0}$$

$$\frac{dy}{dx}=- \frac{x}{y}$$

역함수의 미분

Theorem-The Derivative Rule for Inverse

If $f$ has an inteval $I$ as domain and $f^{\prime}(x)$ exists and is never zero on $I$, then $f^{-1}$ is differentiable at every point in its domain(the range of $f$). The value of $(f^{-1})^{\prime}$ at a point $b$ in the domain of $f^{-1}$ is the reciprocal of the value of $f^{\prime}$ at the point $a=f^{-1}(b)$

$$(f^{-1})^{\prime}(b)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(b))}$$

or

$$\frac{d f^{-1}}{dx}\bigg|_{x=b}=\frac{1}{\frac{df}{dx}\bigg|_{x=f^{-1}(b)}}$$

$$f(f^{-1}(x))=x$$

$$\frac{d}{dx}f(f^{-1}(x))=1$$

$$f^{\prime}(f^{-1}(x))\cdot \frac{d}{dx}f^{-1}(x)=1$$

$$ \frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{ f^{\prime}(f^{-1}(x))}$$

매개변수로 나타낸 함수의 미분

일반적으로 두 변수 $x$, $y$ 사이의 관계를 변수 $t$를 매개로 하여 $$x=f(t),\;\;=g(t)$$의 꼴로 나타낼 때, 변수 $t$를 매개변수로 부르고 이와 같은 표현을 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.

예를 들면 원의 방정식을 $x$축 양의 방향과 이루는 각 $t$를 매개변수로 하여 나타내면

$$x=r\cos t,\;\;y=r\sin t$$ 로 나타낼 수 있다.

이제 매개변수로 나타낸 함수를 미분해 보자.

매개변수로 나타낸 함수 $$x=f(t),\;\;=g(t)$$가 $t$에 대하여 미분가능하고 $f^{\prime}(t)\not=0$일 때, $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$를 구해 보자.

합성함수의 미분법에 의하여

$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$$

이고 $\displaystyle{\frac{dx}{dt}\not=0}$이므로 다음이 성립한다.  

$$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}}$$

미분으로 무엇을 알 수 있을까? 뉴턴은 순간 속도를 구했고 라이프니츠는 접선의 기울기를 구했다.

오른쪽 그림은 함수 $f(x)=x\sin x^2 +1$의 그래프와 접선을 보여주고 있다. 녹색으로 보이는 접선은 기울기가 양이고 검은 것은 기울기가 $0$ 붉은 것은 기울기가 음이다.

미분계수가 양이냐 음이냐에 따라 함숫값이 증가하는가 감소하는가를 알 수 있다. 증감을 알면 함수가 언제 극값을 가지는가도 알 수 있다. 미분가능한 함수라면 미분계수가 $0$이고 부호가 바뀌는 점에서 극값을 가진다.

정리 : 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하고 극값을 가지면 $f  '(a)=0$이다.

복잡해서 그래프를 그리기 어려운 함수는 도함수를 이용하여 증감을 조사하여 극값을 찾아 개형을 그릴 수 있다.