2018학년도 수학 가형 30번 풀이

30. 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)$를

$$f(x) = \begin{cases} 1-|x-t| & \quad (|x-t|\leq 1)\\ 0 & \quad (|x-t|>1) \end{cases}$$

이라 할 때, 어떤 홀수 $k$에 대하여 함수

$$g(t)=\int_{k}^{k+8}f(x)\cos(\pi x)dx$$

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $f(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이고 $g(\alpha)<0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1 ,\alpha_2, \cdots,\alpha_m$($m$은 자연수)라 할 때, $\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\alpha_i =45}$이다.

 $\displaystyle{k-\pi^2\sum_{i=1}^{m}g(\alpha_i )}$의 값을 구하시오.[4점]

풀이 이 문제를 계산으로 푸는 것은 불가능에 가깝다. 함수 그래프의 대칭성과 정적분의 정의를 활용하여 접근해 보자.

먼저 $y=f(x)$는 아주 많이 다루는 함수이므로 빨간색 그래프는 쉽게 생각할 수 있다. $y=\cos(\pi)$도 주기가 $2$인 그래프 녹색을 쉽게 그릴 수 있다.  이제 아래 그림으로 두 함수를 곱한 $h(x)=f(x)\cos(\pi x)$를 파악해 보자. 

멈춘 그림으로는 아래와 같다. 

$\displaystyle{t-1 \leq x < k-\frac{1}{2}}$일 때는 $h(x)\geq 0$

$\displaystyle{k-\frac{1}{2} \leq x < k+\frac{1}{2}}$일 때는 $h(x)\leq 0$

$\displaystyle{k+\frac{1}{2} \leq x < t+1}$일 때는 $h(x)\geq 0$

이제 $\displaystyle{g(t)=\int_{k}^{k+8}f(x)\cos(\pi x)dx}$를 생각해 보자. 이 함수는 $t$에 의해 결정되는데 $x$축보다 아래로 내려간 영역의 넓이가 커질 수록 함숫값이 작아진다. 따라서 $t=k$일 때 극솟값을 $t=k+1$일 때 극댓값을 가질 것이다. 

그러므로 $\alpha_{i}=k+2(i-1)\;\;\;(i=1,2,3,4,5)$이다. 따라서 $m=5$이다.

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{5}\alpha_i =\sum_{i=1}^{5}(k+2(i-1)) =5k+2\cdot 10=45}$

$k=5$이다.

계산을 쉽게 하기 위해 $t=1$이라 하고 쉬운 구간을 적분하자. 

$$g(\alpha_1)=g(\alpha_5)=\int_{0}^{1}f(x)\cos (\pi x)dx=\int_{0}^{1} x \cos (\pi x)dx= \bigg[ \frac{x}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^2}\cos(\pi x) \bigg]_{0}^{1}= -\frac{2}{\pi^2}$$

$$g(\alpha_2)=g(\alpha_3)=g(\alpha_4)=\int_{0}^{2}f(x)\cos (\pi x)dx=2\int_{0}^{1}f(x)\cos (\pi x)dx=-\frac{4}{\pi^2}$$

$$\therefore \displaystyle{k-\pi^2\sum_{i=1}^{m}g(\alpha_i )=21}$$