The Limit Laws

The Precise Definition of a Limit

볼짜노(Bernard Bolzano)는 $\varepsilon-\delta$ 를 써서 아래와  같이 극한을 정의했다.

Defninition Let $f(x)$ be defined on an open intervaal about $c$, except possibly at $c$ itself. We say that the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $x_0$ is the number L, and write

$$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$$

if $\forall \varepsilon >0$, there exists a corresponding number $ \delta >0$ such that for all $x$,  

$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$

고등학교에서 위 정의를 가르칠 수 없어서 함수의 극한을 아래와 같이 정의한다.

 $x$가 $c$가 아닌 값을 취하면서 $c$에 한없이 가까워질 때 함숫값 $f(x)$가 일정한 값 $L$에 한없이 가까지면 $L$로 수렴한다고 하고 $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$$로 적는다. 

극한값이 가진 성질도 증명없이 받아 들인다. 대충은 없다. 수학은 엄밀해야 한다고 믿는 이를 위해 몇 가지 성질을 증명해 보자.

증명) 1을 증명하려면 $\varepsilon >0$이 주어졌을 때, 아래를 만족하는 $\delta$가 존재함을 보이면 된다.

$0<|x-c|<\delta$인 모든 $x$에 대하여 $|f(x)+g(x)-(L+M)|<\varepsilon$이다.

가정에 $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$이므로 $0<|x-c|<\delta_1$인 모든 $x$에 대하여 $|f(x)-L|<\varepsilon/2$인 $\delta_1$이 존재한다. $\lim_{x\rightarrow c}g(x)=M$이므로 $0<|x-c|<\delta_2$인 모든 $x$에 대하여 $|g(x)-M|<\varepsilon/2$인 $\delta_2$도 존재한다.

이제 $\delta=\{\delta_1 ,\delta_2\}$로 잡는다면

$0<|x-c|<\delta$인 모든 $x$에 대하여

$|f(x)+g(x)-(L+M)|=|f(x)-L+g(x)-M|<|f(x)-L|+|g(x)-M|<\varepsilon/2 +\varepsilon/2 =\varepsilon$  

4를 증명하기 위해선 $0<|x-c|<\delta$인 모든 $x$에 대하여 $|f(x)g(x)-LM|<\varepsilon$인 $\delta$를 찾으면 된다.

먼저 $\lim_{x\rightarrow c}g(x)=M$이므로 $0<|x-c|<\delta_1$인 모든 $x$에 대하여 $|g(x)-M|<1$인 $\delta_1$이 있는데  $|g(x)|-|M|\leq|g(x)-M|<1$이므로 $|g(x)|<|M|+1$이다.

$B=max\{|M|+1, |L|\}$라고 하자.

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$이므로 $0<|x-c|<\delta_2$인 모든 $x$에 대하여 $|f(x)-L|<\varepsilon/2B$인 $\delta_2$이 존재한다. 

$\lim_{x\rightarrow c}g(x)=M$이므로 $0<|x-c|<\delta_3$인 모든 $x$에 대하여 $|g(x)-M|<\varepsilon /2B$인 $\delta_3$이 존재한다.

이제 $\delta=min\{\delta_1 ,\delta_2,\delta_3\}$로 잡는다면 $0<|x-c|<\delta$인 모든 $x$에 대하여

$|f(x)g(x)-LM|=|f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM|=|(f(x)-L)g(x)+L(g(x)-M)|$

$<|f(x)-L|B+B|g(x)-M|<(\varepsilon/2B) B +B(\varepsilon /2B)=\varepsilon$  

5를 증명하기 위해 먼저 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}{g(x)}=M}$이면 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{1}{M}}$임을 증명하자.

증명)) $\forall \varepsilon >0$에 대하여 다음을 만족하는 $\delta$가 존재함을 보이면 된다.

$$\forall x , 0<|x-c|<\delta \Rightarrow \big|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \big|<\varepsilon$$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}{g(x)}=M}$이므로 

$\displaystyle{ \forall x , 0<|x-c|<\delta_{1} \Rightarrow |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}}$인 $\delta_1$이 존재한다.

$\displaystyle{ -\frac{|M|}{2}<-|g(x)-M|<|g(x)|-|M|}$이므로 $\displaystyle{ |g(x)|>\frac{|M|}{2}}$이다.

한편 

$\displaystyle{ \forall x , 0<|x-c|<\delta_{2} \Rightarrow |g(x)-M|<\frac{|M|^2}{2}\varepsilon}$인 $\delta_2$도 존재한다.

이제 $\delta=min\{\delta_1 ,\delta_2\}$라고 하면

$\displaystyle{  0<|x-c|<\delta}$인 모든 $x$에 대하여

$$\big|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \big|=\bigg|\frac{g(x)-M}{g(x)M}\bigg|=\frac{|g(x)-M|}{|g(x)||M|}<\frac{|M|^2}{2}\varepsilon\cdot \frac{2}{|M|^2}=\varepsilon$$

이제 4에서 밝힌 성질에 따라 5를 증명할 수 있다.