오일러의 수

$n\rightarrow \infty$일 때, 수열$\displaystyle{\bigg(1+ \frac{1}{n} \bigg)^n}$ 의 값의 극한값에 대하여 생각해보자.

이항정리에 의하여

$$\bigg(1+ \frac{1}{n} \bigg)^n= {}_n C_0 +{}_n C_1 \frac{1}{n} +{}_n C_2 \bigg(\frac{1}{n}\bigg)^2 +{}_n C_3 \bigg(\frac{1}{n}\bigg)^3 + \cdots +\cdots+{}_n C_n \bigg(\frac{1}{n} \bigg)^n$$
$$=1+1+ \frac{1}{2!} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)+\frac{1}{3!} \bigg(1-\frac{1}{n} \bigg) \bigg(1-\frac{2}{n} \bigg)+ \cdots \\+ \frac{1}{n!} \bigg(1-\frac{1}{n} \bigg) \bigg(1-\frac{2}{n} \bigg)\cdots \bigg(1-\frac{n-1}{n} \bigg)$$이다.

이 값은 $\displaystyle{1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}}$보다 작은 값이다.

또한, 위의 값은 $\displaystyle{1+1+\frac{1}{2}+\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{1}{2} \bigg)^3+ \cdots+\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^n}$보다 작다.

한편, 이 수열은 단조증가하는 수열이다.

그러므로 $n \rightarrow \infty$일 때, 수열 $\displaystyle{{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n}}$은 $2$보다는 크고 $3$보다 작은 값으로 수렴한다.

수열 $\displaystyle{{\bigg(1+ \frac{1}{n} \bigg)^n}}$의 극한값을 $e$라고 부른다.

즉, $n\rightarrow \infty$일 때, $\displaystyle{\bigg(1+ \frac{1}{n} \bigg)^n\rightarrow e}$이고 $e$의 근사값은 `2.718281\cdots`이다.

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^n =e$$


$$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots$$
이 무한급수는 1665년 뉴턴이 발견했다.

이 급수의 처음 일곱 개의 부분 합은 다음과 같다.
$$1+ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}=2.718253968\cdots$$이 급수는 매우 빠르게 수렴하는데, 각 항의 분모에 있는 계승의 값이 급속하게 증가하기 때문이다. 원하는 만큼 정확한 근사값은 이 급수의 항을 더 많이 해서 얻을 수 있다.

$$e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\cfrac{5}{6+\cdots}}}}}}$$

$$e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cdots}}}}}}$$

1737년 오일러는 이 무한 연분수(infinite continued fraction)를 발견하였다. 그는 모든 유리수를 유한 연분수로 나타낼 수 있었고, 역도 성립한다는 사실을 증명했다. 오일러 연분수(infinite continued fraction) 공식

이런 표현은 놀라울 정도의 규칙성을 갖는데, 무리수의 소수 전개에서 숫자들이 겉보기에 멋대로 나타나는 것과 대조를 이룬다. 두 번째 연분수는 모든 분자가 1이기 때문에 단순 연분수라고 부르는데 다음과 같이 분자를 제외하고 간단하게 나타내기도 한다.

$e=[2: 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, \cdots]$