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라플라스 변환::::수학과 사는 이야기

라플라스 변환

수학이야기/Calculus 2019. 10. 29. 16:29
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수학과 물리학자이면서 천문학자였던 피에르 시몬 마르퀴스 데 라플라스는 확률론에서 미분방정식을 아주 쉽게 계산할 수 있게 해주는 적분 변환을 고안하였다. 프랑스의 뉴턴으로 불렸던 그는 가난한 농부의 아들이었지만 훗날 나폴레옹과 친구가 되고 귀족이 되었다.

라플라스 변환을 공부하면 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고 해를 구하고 이를 역변환하여 미분방정식의 해를 구할 수 있게 된다.

라플라스 변환

정의 

함수 $f$의 라플라스 변환은 $t \geq 0$에서 정의된 함수를 아래와 같이 적분한 값이 수렴하는 함수다.

F(s)=0estf(t)dt=limb0bestf(t)dt

이것을 기호로는 $\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)$로 적는다.

스크립트 글꼴로 쓰인 기호도 뭔가 보기 좋다.

보기 (a)L{1}=0est1dt=limb0bestdt=limbests|0b=limbesb+1s=1ss>0

이것을 더 짧게 아래와 같이 쓴다.

L{1}=0estdt=limbests|0=1ss>0

정리

라플라스 변환은 선형 변환(linear transform)이다.

증명은 적분의 성질이므로 아주 간단하다.  0est[αf(t)+βg(t)]dt=α0estf(t)dt+β0estg(t)dt

$\blacksquare$

L{αf(t)+βg(t)}=αL{f(t)}+βL{g(t)}=αF(s)+βG(s)

정리

$f(t)$가 구간 $[0, \infty)$에서 구간별로 연속(piecewise coutinuous)이고 $t>T$일 때 지수 차수(exponential order)이면 $s>c$일 때 $\mathscr{L} \{ f(t) \} $가 존재한다.

참고

함수 $f$가 주어진 구간에서 불연속인 점이 기껏해야 유한개이거나 연속이면 함수 $f$는 구간별로 연속이다. 

$t>T$일 때 $|f(t)|<Me^{ct}$인 $c$, $M>0, T>0$가 존재하면 $f$는 지수 차수라 말한다.

증명 L{f(t)}=0estf(t)dt=0Testf(t)dt+Testf(t)dt=I1+I2

$I_1$은 $f$가 연속인 구간별로 적분하면 되므로 $I_2$가 존재함을 밝히면 된다.

|I2|T|estf(t)|dtMTestectdt=MTe(sc)tdt=Me(sc)tsc|T=Me(sc)Tscfors>c

$\blacksquare$

중요한 몇몇 함수를 변환해 보자.

1.

L{t}=0esttdt=tests|0+1s0estdt=1sL{1}=1s(1s)=1s2s>0

L{tn}=0esttndt=tnests|0+ns0esttn1dt=ns0esttn1dt=nsL{tn1}

2.

L{e3t}=0este3tdt=0e(s+3)tdt=e(s+3)ts|0=1s+3s>3

3.

L{sin2t}=0estsin2tdt=estsin2ts|0+2s0estcos2tdt=2s0estcos2tdt,s>0=2s[estcos2ts|02s0estsin2tdt]=2s24s2L{sin2t}

[1+4s2]L{sin2t}=2s2L{sin2t}=2s2+4s>0

4.

L{3t5sin2t}=3L{t}5L{sin2t}=31s252s2+4=7s2+12s2(s2+4),s>0

중요한 변환을 적어보면 아래와 같다.

$\displaystyle{\mathscr{L} \{ 1 \} = \frac{1}{s} \tag{a}}$

$\displaystyle{\mathscr{L} \{ t^n \} = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad n=1,2,3,\cdots \tag{b}}$

$\displaystyle{\mathscr{L} \{ e^{at} \} = \frac{1}{s-a} \tag{c}}$

(d)L{sinkt}=ks2+k2

(e)L{coskt}=ss2+k2

(f)L{sinhkt}=ks2k2

(g)L{coshkt}=ss2k2

5

L{sin2t}=3L{1cos2t2}=12L{1}12L{cos2t}=121s12ss2+4=2s(s2+4).

라플라스 역변환

라플라스 변환은 아래와 같이 역변환을 정의한다.

f(t)=L1{F(s)}

중요한 역변환을 적어보면 아래와 같다.

$\displaystyle{ 1 = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s} \bigg\} \tag{a}}$

$\displaystyle{t^n = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{n!}{s^{n+1}} \bigg\} \quad n=1,2,3,\cdots \tag{b}}$

$\displaystyle{ e^{at} = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s-a} \bigg\} \tag{c}}$

(d)sinkt=L1{ks2+k2}

(e)coskt=L1{ss2+k2}

(f)sinhkt=L1{ks2k2}

(g)coshkt=L1{ss2k2}

1. $\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s^5} \bigg\} =\frac{1}{4!}\mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{4!}{s^5} \bigg\}=\frac{1}{24}t^4}$

2. $\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s^2 +64} \bigg\} =\frac{1}{8}\mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{8}{s^2+ 64} \bigg\}=\frac{1}{8}\sin 8t}$

3. $\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{3s+5}{s^2 +7 } \bigg\} =3 \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{s}{s^2 +7 } \bigg\}+\frac{5 }{\sqrt7}\mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{\sqrt 7 }{s^2 +7 } \bigg\}=3\cos \sqrt7 t+\frac{5}{\sqrt7}\sin \sqrt7 t}$

4. 고등학교에서 배우는 부분분수로 분리하는 방법을 써서 다양한 역변환을 할 수 있다.

예를 들면 $\displaystyle{\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}=\frac{1/15}{s-1}-\frac{1/6}{s+2}+\frac{1/10}{s+4}}$이므로 

L1{1(s1)(s+2)(s+4)}=115L1{1s1}16L1{1s+2}+110L1{1s+4}=115et16e2t+110e4t

정리

$f(t)$가 구간 $[0,\infty)$에서 구간별 연속이고 $t>T$에 대하여 지수 차수이면 $\displaystyle{\lim_{s\rightarrow \infty}\mathscr{L}\{f(t)\}=0}$이다.

증명 $f(t)$가 구간 $[0,\infty)$에서 구간별 연속이면 $0\leq t \leq T$에서 유계되어 있다.

|f(t)|M1=M1e0t

또한 지수 차수를 가지므로 $t>T$에 대하여 아래와 같이 유계되어 있다.

|f(t)|M2eγt

$M=max\{M_1, M_2\},\quad c=max\{0,\gamma\}$라고 하면

|L{f(t)}|0est|f(t)|dtM0estectdt=Mesc)tsc|0=Msc

그러므로 $s \rightarrow \infty$일 때, $|\mathscr{L}\{f(t)\}| \rightarrow 0$이므로 $\mathscr{L}\{f(t)\} \rightarrow 0$이다.                                                   

$\blacksquare$

 

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