수학과 사는 이야기

무리수는 순환하지 않는 무한소수이다. 무한소수임을 보이는 것도 쉽지 않은데 순환하지 않음까지 보여야 한다. 따라서 어떤 수가 무리수임을 증명하기는 어렵다. $\pi$는 가장 처음 만나는 무리수이다. 당연히 $\pi$ 무리수라고 알고 있지만 증명을 하는 사람은 많지 않다. 고등학교 수준으로 증명을 이해할 수 있을 것 같아서 적는다. 먼저 $\pi^2$이 무리수임을 보이는 증명이다. 1794년 라그랑제(Joseph Louis Lagrange)가 증명했다. 증명 $\pi^2$가 유리수라고 가정하자. $\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합 $\displaystyle{\pi^2=\frac{p}{q}\quad (p,q \in \mathbb{Z},\;\;q\not=0)}$라고 놓을 수 있다. $\displayst..