이항분포와 정규분포

물음 : 검은 공이 하나 흰 공이 셋 들어있는 주머니에서 하나의 공을 꺼내 보고 다시 넣는다. 이 시행을 192번 했을 때 검은 공이 눈이 48번 이상 60번 이하 나올 확률을 구해보자.

풀이)

독립시행이므로 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 한다면 이항분포 $B(192, \frac{1}{4})$를 따른다.

따라서, $P(48 \leq X \leq 60)$은
$$\sum_{k=48}^{60}{}_{192} C_{k} \left(\frac{1}{4}\right)^{k} \left(\frac{3}{4}\right)^{192-k}={}_{192} C_{48} \left(\frac{1}{4}\right)^{48} \left(\frac{3}{4}\right)^{144} + \cdots +{}_{192} C_{60} \left(\frac{1}{4}\right)^{60} \left(\frac{3}{4}\right)^{132}$$ 이다. 이것을 계산하는 것은 무척이나 복잡하고 번거로운 일이다.

그림과 같이 일반적으로 이항분포 $B(n, p)$의 확률질량함수의 그래프는 $n$이 커질 수록 정규분포 곡선에 가까워진다.

확률변수 $X$가 이항분포 $B(n, p)$를 따르고 $n$이 충분히 클 때, 정규분포 $N(np, npq)$에 따른다고 여겨 근삿값을 구하면 된다. ($5 \leq np $이고 $5\leq nq$일 때, $n$이 충분히 크다고 한다.)

예제. 한 개의 주사위를 450회 던질 때, 3의 배수의 눈이 나오는 횟수가 130회 이상 170회 이하일 확률을 구하여라.

풀이보기

$X$는 $\displaystyle{B\bigg(450,\frac{1}{3}\bigg)}$을 따르고 $n$이 충분히 크므로, $N(150, 10^2 )$을 따른다고 볼 수 있다.
$$P(130\leq X \leq 170)=P\bigg(\frac{130-150}{10}\leq Z \leq \frac{170-150}{10}\bigg)$$ $$=P(-2\leq Z \leq 2)=2P(0 \leq Z \leq 2)$$
$$\therefore 2 \times 0.4772=0.9544$$

예제 : 어느 항공사의 비행기 표를 예약한 사람이 취소하거나 실제 비행기를 타지 않을 확률이 20%라고 한다. 좌석 수가 87석인 비행기에 예약한 사람이 100명일 때, 좌석이 부족하게 될 확률을 구하여라.

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$X$는 $\displaystyle{B\bigg(100,\frac{4}{5}\bigg)}$을 따르고 $n$이 충분히 크므로, $N(80, 4^2 )$을 따른다고 볼 수 있다.
$$P(88\leq X )=P\bigg(\frac{88-80}{4}\leq Z\bigg)$$ $$=P(2\leq Z)=0.5-P(0 \leq Z \leq 2)$$
$$\therefore 0.5-0.4772=0.0228$$