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만만하지 않은 상수 <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-1"><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-2">π</span></span></span><span id="MathJax-Element-1-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML MJXc-processing" tabindex="0"></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">\pi</script>와 <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-3"><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-4">e</span></span></span><span id="MathJax-Element-2-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML MJXc-processing" tabindex="0"></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">e</script>::::수학과 사는 이야기

만만하지 않은 상수 πe

수학이야기 2012. 9. 28. 22:07
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수학 시간에 만나는 상수는 변수보다 만만하다. 그러나 깊이 들어가면 상수도 만만치 않다. 세상에 있는 많은 변수를 이해하려면 먼저 상수부터 알아야 한다. 아래 함수를 보면 생각나는 것이 있는가?

ϕ(x)=12πex22

표준정규분포의 확률밀도함수임을 알고 있다면 수학 공부 좀 한 사람이다. 세상에서 일어나는 많은 걸 분석할 수 있게 해주는 함수다. 신기하게도 이 함수에는 수학에서 자주 사용하는 두개의 상수 원주율 π와 오일러 상수 e가 함께 쓰였다. 세상을 알려면 먼저 원주율부터 공부해야 한다.

 

원주율 π

원주율 π는 지름(d)에 대한 원의 둘레(C)의 비율이다. π=Cd

원주율을 흔히 π라고 표시하는 이유는 그리스어로 둘레를 뜻하는 "페리페레스"(περιφηρής) 또는 "페리메트론"(περίμετρον)의 머리글자에서 따왔기 때문에 누가 처음 사용했는지 확실하지는 않으나 18세기 스위스의 수학자 ‘오일러(Leonhard Euler; 1707~1783)’가 쓰기 시작한 다음부터 다른 학자들도 이 표현을 따랐다고 한다.

π는 무리수이다. 근삿값은 3.141592653589793238인데 고대 이집트 피라미드를 세운 사람은 2π=17602806.2857로 계산했다고 하니 무척 정확하게 알고 있었다. 바깥 고리 위키백과

π는 이름도 무섭게 다가오는 초월수이기도 하다. 초월수는 어떤 대수 방정식의 답이 될 수 없는 수이다. 초월수는 작도할 수 없는 수이다. 따라서 원과 넓이가 같은 정사각형은 작도할 수 없다.

 

그리스 수학자 ‘아르키메데스(Archimedes; B. C. 287?-212)’는 원에 내접, 외접하는 다각형 둘레를 계산해 원주율은 31071 보다는 크고, 317보다는 작다고 했는데 π=3.14임을 밝힌 것이다. 영국 수학자 ‘샹크스(William Shanks; 1812-1882)’는 손으로 1873년경에 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산했지만, 안타깝게도 20세기 이후 소수점 이하 528자리까지는 맞고 그 뒤부터는 틀렸음이 밝혀졌다. 

아래와 같이 연분수로 나타낼 수 있다.

 

더 정확한 원주율을 찾기 위해선 미적분학이 필요하다. 15세기 인도 수학자 마드하반은 π의 값을 수렴하는 유리수의 무한급수로 나타낼 수 있음을 보였다. 1671년 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리와 1674년 라이프니츠도 다시 찾아낸 식은 탄젠트의 역함수인 아크 탄젠트를 급수로 나타낸 식이다.

arctan(z)=zz33+z55z77+=n=0(1)nz2n+12n+1;|z|1zi,i

arctan(z)에서 z=1일 때, 무한급수의 값은 π/4이다.

π=4k=1(1)k+12k1=4(113+1517+)

뉴턴은 아크 사인 함수를 나타내는 무한급수로 π의 근삿값을 찾았다. arcsin(z)에서 z=1일 때, 무한급수의 값은 π/2이다.

arcsin(z)=z+(12)z33+(1324)z55+(135246)z77+=n=0(2n1)!!(2n)!!z2n+12n+1=n=0(2n)!(2nn!)2z2n+12n+1;|z|1

뉴턴은 1665년에서 1666년에 걸쳐 이 급수로 π의 값을 소수점 아래 열다섯 자리까지 구했다. 이 계산을 하는 동안은 다른 일을 하지 못했다고 한다.

요즘 슈퍼 컴퓨터의 성능은 무한급수로 π의 근삿값을 얼마나 빨리 구할 수 있는가로 측정한다고 한다.

한편  π는 무한곱으로 나타낼 수도 있다. 아래와 같은 월리스 곱이 그것이다.

π2=n=14n24n21=n=1(2n2n12n2n+1)=(2123)(4345)(6567)(8789)

오일러 상수 e

오일러 상수 e는 로그와 관계가 있다.

e가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어가 발간한 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 e를 상수로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는 N=107(1107)L과 동치이다.

이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는

N=lognLn=(1107)107

인 로그함수이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 e의 역수인 1e와 매우 가까운 근삿값이다. 훗날 윌리엄 오트리드가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 e를 특별한 상수로 취급하지는 않았다.

e가 특정한 상수임을 발견한 사람은 자코브 베르누이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였다.

연이율이 100%라면 1년이 지나면 1원이 2원이 된다. 복리 이자 계산을 더 자주 한다면 원리합계는 어떻게 될까?  

limn(1+1n)n

베르누이는 위 극한이 수렴한다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 e이다. 베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다.

한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 e로 표현하여 사용하기 시작하였다. e라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》이다. 그 이전에는 수학자마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판 이후 e로 표기하는 것이 관례가 되었다. 오일러는 스위스 화폐에 등장한다. 우리나라 지폐에도 수학자가 등장할 날이 올까?

 

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