오메가($\omega$)에 대하여

공통수학 1에 복소수를 배우고 나면 자주 등장하는 복소수가 있다. 아래 방정식의 허근이 바로 그것이다. 보통 $\omega$란 이름으로 등장하지만 반드시 그렇지는 않다.

>>먼저 직접 허근을 구해서 성질을 알아보자.

$$x^3=1\tag{1}$$

$$x^3 -1=(x-1)(x^2+x+1)=0$$

방정식 (1)의 근은 $x=1$ 또는 $\displaystyle{x=\frac{-1\pm\sqrt3 i}{2}}$이다.

두 허근 가운데 하나를 $\omega$라고 하자.

$\displaystyle{\omega=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}}$

$\displaystyle{\omega^2=\left(\frac{-1+\sqrt3 i}{2}\right)^2 =\frac{-1-\sqrt3 i}{2}=\overline{\omega}}$

$\omega^3=\omega^2 \omega=\overline{\omega}\omega=1$

$\omega^4=\omega$

$\vdots$

물론 직접 계산하기 보다는 근과 계수와의 관계를 쓰는 것이 훨씬 낫다. 

$$x^2 +x+1=0\tag{2}$$

$\omega$가 (2)의 근이므로 $\omega^2 +\omega +1=0$은 당연하다. 

한편 방정식 (2)는 두 허근 $\omega$, $\overline{\omega}$를 가지므로 근과 계수와의 관계를 적으면 아래와 같다.

$$\omega+\overline{\omega}=-1\tag{3}$$

$$ \omega \overline{\omega}=1\tag{4}$$

(3)에서

$$\overline{\omega}=-1- \omega\tag{3-1}=\omega^2$$

(4)에서 

$$\omega=\frac{1}{\overline{\omega}}=\frac{1}{\omega^2}\tag{4-1}$$

모든 것이 결국 $\omega^3=1$에서 나온다. 사실 $\omega$는 삼차방정식의 근의 공식인 카르다노 해법에 등장한다. 그래서 공통수학 1에서 자주 나온다고 볼 수 있다.

방정식 $x^3 =-1$의 허근을 $\omega$로 하는 문제도 있으니 주의하자.

문제 다항식 $2x^{100} +x^{50} +x^3+x+1$을 $x^2 +x+1$로 나눈 나머지를 구하시오.

시간만 많다면 차근차근 직접 나누면 구할 수 있다. 하지만 그것은 수학이 아니다.

먼저 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax+b$라고 하면 아래 항등식을 얻을 수 있다.

$$2x^{100}+x^{50}+x^3 +1=(x^2+ x+1)Q(x)+ax+b\tag{5}$$

$x=\omega$를 대입하자. 

$$2\omega^{100}+\omega^{50}+\omega^3 +1=(\omega^2+ \omega+1)Q(\omega)+a\omega+b$$

$\omega^2 +\omega +1=0$이므로

$$2(\omega^{3})^{33} \omega +(\omega^3)^{16}\omega^{2}+\omega^3 +1=a\omega+b$$

$$2 \omega +\omega^{2}+1 +1=a\omega+b$$

$$\omega+1=a\omega+b$$

$$a=1,\;\;b=1$$

정답: 나머지는 $x+1$이다.

(5)에 자연스럽게 허수를 넣을 수 있어야 비로소 고수라 할 수 있다.

연습문제 다항식 $x^{100}+2x^{49}+3$을 $x^2 +1$로 나눈 나머지를 구하시오.