오메가($\omega$)에 대하여

공통수학 1에 복소수를 배우고 나면 자주 등장하는 복소수가 있다. 아래 방정식의 허근이 바로 그것이다. 보통 $\omega$란 이름으로 등장하지만 반드시 그렇지는 않다.

>>먼저 직접 허근을 구해서 성질을 알아보자.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x^3=1\end{array}$$

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$$

방정식 (1)의 근은 $x=1$ 또는 $\displaystyle{x=\frac{-1\pm\sqrt3 i}{2}}$이다.

두 허근 가운데 하나를 $\omega$라고 하자.

$\displaystyle{\omega=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}}$

$\displaystyle{\omega^2=\left(\frac{-1+\sqrt3 i}{2}\right)^2 =\frac{-1-\sqrt3 i}{2}=\overline{\omega}}$

$\omega^3=\omega^2 \omega=\overline{\omega}\omega=1$

$\omega^4=\omega$

$\vdots$

물론 직접 계산하기 보다는 근과 계수와의 관계를 쓰는 것이 훨씬 낫다. 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x^2+x+1=0\end{array}$$

$\omega$가 (2)의 근이므로 $\omega^2 +\omega +1=0$은 당연하다. 

한편 방정식 (2)는 두 허근 $\omega$, $\overline{\omega}$를 가지므로 근과 계수와의 관계를 적으면 아래와 같다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \omega +\bar{\omega }=-1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \omega \bar{\omega }=1\end{array}$$

(3)에서

$$\begin{array}{}\text{(3-1)}& \bar{\omega }=-1-\omega ={\omega }^2\end{array}$$

(4)에서 

$$\begin{array}{}\text{(4-1)}& \omega =\frac{1}{\bar{\omega }}=\frac{1}{{\omega }^2}\end{array}$$

모든 것이 결국 $\omega^3=1$에서 나온다. 사실 $\omega$는 삼차방정식의 근의 공식인 카르다노 해법에 등장한다. 그래서 공통수학 1에서 자주 나온다고 볼 수 있다.

방정식 $x^3 =-1$의 허근을 $\omega$로 하는 문제도 있으니 주의하자.

문제 다항식 $2x^{100} +x^{50} +x^3+x+1$을 $x^2 +x+1$로 나눈 나머지를 구하시오.

시간만 많다면 차근차근 직접 나누면 구할 수 있다. 하지만 그것은 수학이 아니다.

먼저 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax+b$라고 하면 아래 항등식을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 2x^{100}+x^{50}+x^3+1=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b\end{array}$$

$x=\omega$를 대입하자. 

$$2{\omega }^{100}+{\omega }^{50}+{\omega }^3+1=({\omega }^2+\omega +1)Q(\omega )+a\omega +b$$

$\omega^2 +\omega +1=0$이므로

$$2({\omega }^3{)}^{33}\omega +({\omega }^3{)}^{16}{\omega }^2+{\omega }^3+1=a\omega +b$$

$$2\omega +{\omega }^2+1+1=a\omega +b$$

$$\omega +1=a\omega +b$$

$$a=1,b=1$$

정답: 나머지는 $x+1$이다.

(5)에 자연스럽게 허수를 넣을 수 있어야 비로소 고수라 할 수 있다.

연습문제 다항식 $x^{100}+2x^{49}+3$을 $x^2 +1$로 나눈 나머지를 구하시오.