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오메가(<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-1"><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-2">ω</span></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">\omega</script>)에 대하여::::수학과 사는 이야기

오메가(ω)에 대하여

수학이야기/공통수학 2025. 4. 30. 15:42
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공통수학 1에 복소수를 배우고 나면 자주 등장하는 복소수가 있다. 아래 방정식의 허근이 바로 그것이다. 보통 ω란 이름으로 등장하지만 반드시 그렇지는 않다.

>>먼저 직접 허근을 구해서 성질을 알아보자.

x3=1

x31=(x1)(x2+x+1)=0

방정식 (1)의 근은 x=1 또는 x=1±3i2이다.

두 허근 가운데 하나를 ω라고 하자.

ω=1+3i2

ω2=(1+3i2)2=13i2=¯ω

ω3=ω2ω=¯ωω=1

ω4=ω

물론 직접 계산하기 보다는 근과 계수와의 관계를 쓰는 것이 훨씬 낫다. 

x2+x+1=0

ω가 (2)의 근이므로 ω2+ω+1=0은 당연하다. 

한편 방정식 (2)는 두 허근 ω, ¯ω를 가지므로 근과 계수와의 관계를 적으면 아래와 같다.

ω+ω=1

ωω=1

(3)에서

ω=1ω=ω2

(4)에서 

ω=1ω=1ω2

모든 것이 결국 ω3=1에서 나온다. 사실 ω는 삼차방정식의 근의 공식인 카르다노 해법에 등장한다. 그래서 공통수학 1에서 자주 나온다고 볼 수 있다.

방정식 x3=1의 허근을 ω로 하는 문제도 있으니 주의하자.

문제 다항식 2x100+x50+x3+x+1x2+x+1로 나눈 나머지를 구하시오.

시간만 많다면 차근차근 직접 나누면 구할 수 있다. 하지만 그것은 수학이 아니다.

먼저 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b라고 하면 아래 항등식을 얻을 수 있다.

2x100+x50+x3+1=(x2+x+1)Q(x)+ax+b

x=ω를 대입하자. 

2ω100+ω50+ω3+1=(ω2+ω+1)Q(ω)+aω+b

ω2+ω+1=0이므로

2(ω3)33ω+(ω3)16ω2+ω3+1=aω+b

2ω+ω2+1+1=aω+b

ω+1=aω+b

a=1,b=1

정답: 나머지는 x+1이다.

(5)에 자연스럽게 허수를 넣을 수 있어야 비로소 고수라 할 수 있다.

연습문제 다항식 x100+2x49+3x2+1로 나눈 나머지를 구하시오.
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