오메가(ω)에 대하여
수학이야기/공통수학 2025. 4. 30. 15:42공통수학 1에 복소수를 배우고 나면 자주 등장하는 복소수가 있다. 아래 방정식의 허근이 바로 그것이다. 보통 ω란 이름으로 등장하지만 반드시 그렇지는 않다.
>>먼저 직접 허근을 구해서 성질을 알아보자.
방정식 (1)의 근은 x=1 또는 x=−1±√3i2이다.
두 허근 가운데 하나를 ω라고 하자.
ω=−1+√3i2
ω2=(−1+√3i2)2=−1−√3i2=¯ω
ω3=ω2ω=¯ωω=1
ω4=ω
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물론 직접 계산하기 보다는 근과 계수와의 관계를 쓰는 것이 훨씬 낫다.
ω가 (2)의 근이므로 ω2+ω+1=0은 당연하다.
한편 방정식 (2)는 두 허근 ω, ¯ω를 가지므로 근과 계수와의 관계를 적으면 아래와 같다.
(3)에서
(4)에서
모든 것이 결국 ω3=1에서 나온다. 사실 ω는 삼차방정식의 근의 공식인 카르다노 해법에 등장한다. 그래서 공통수학 1에서 자주 나온다고 볼 수 있다.
방정식 x3=−1의 허근을 ω로 하는 문제도 있으니 주의하자.
문제 다항식 2x100+x50+x3+x+1을 x2+x+1로 나눈 나머지를 구하시오.
시간만 많다면 차근차근 직접 나누면 구할 수 있다. 하지만 그것은 수학이 아니다.
먼저 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b라고 하면 아래 항등식을 얻을 수 있다.
x=ω를 대입하자.
ω2+ω+1=0이므로
정답: 나머지는 x+1이다.
(5)에 자연스럽게 허수를 넣을 수 있어야 비로소 고수라 할 수 있다.
연습문제 다항식 x100+2x49+3을 x2+1로 나눈 나머지를 구하시오.