이차부등식_차원을 높여라

2022 개정 교육과정에선 이차부등식을 이차함수의 그래프로 설명한다. 매우 바람직한 방법이다. 나아가 다른 부등식도 방정식의 그래프와 연관 지어 생각하면 좋은 방법을 찾을 수 있다.

$$x^2 -3x-4>0\tag{1}$$

▶ 옛날 방식

$(x-4)(x+1)>0$에서 두 수 $x-4$와 $x+1$의 곱이 양수이므로 두 수는 부호가 같다.

$x-4<0,\,x+1<0$ 또는 $x-4>0,\,x+1>0$에서 $x<-1$ 또는 $x>4$이다.

▶ 요즘 방식

좌변과 우변을 각각 방정식으로 생각하고 그래프를 그린다.

주어진 부등식은 포물선의 $y$좌표가 양수인 $x$의 범위를 찾는 것과 같다.

$y>0$은 $y$축 양의 부분에 있는 점은 물론 제1사분면과 제2사분면에 있는 점까지 모두 포함한다. 

포물선 $y=x^2 -3x-4$이 $x$축 보다 위쪽에 있는 $x$의 범위를 찾는다.

 

$x^2 -3x-4<0$이면 $-1<x<4$임은 당연하다.

포물선 $y=ax^2 +bx+c$가 $x$축과 만나는 점이 둘일 때 $y$의 부호는 아래와 같다.

$a<0$일 때는 이차부등식의 양변에 $-1$을 곱해서 아래로 볼록한 모양인 포물선을 생각하면 편하다. 

이차방정식 $ax^2 +bx+c=0$ ($a>0$)의 판별식을 $D$라고 할 때, 이차부등식의 해는 다음과 같다.

굳이 외우려고 하지 말자. 아무튼 요즘 방식은 해가 없는 경우까지 직관적으로 해결할 수 있어서 매우 편리하다. 결국 이차부등식은 이차방정식의 실근을 구하는 문제와 같음을 알 수 있다. 이것을 잘 이해한 학생에겐 따로 가르칠 것이 없다.^^ 결국 이차방정식의 근의 공식과 그 안에 있는 판별식이 모든 문제를 해결해 준다.

이차부등식 $ax^2 +bx+c>0$을 해결하는 절차

1. $D=b^2 -4ac$의 부호를 확인한다.
2. $D\geq 0$이면, $x$절편을 구한다.
3. 이차함수 $y=ax^2 +bx+c$의 그래프를 그린다.
4. 부등호를 만족하는 영역을 찾는다.
5. $x$의 범위인 해를 구한다.

문제 포물선 $y=x^2 -2x$가 직선 $ y=x+4$보다 아래에 있는 $x$값의 범위를 구하여라.

모양은 다르지만 $x^2 -2x<x+4$를 정리하면 $x^2 -3x-4<0$로 해는 $-1<x<4$이다.

평범한 문제도 절댓값 기호를 넣으면 난도가 올라간다. 아래 부등식을 보자. 쉽지 않을 것이다. 하지만 그림과 같이 평면에 그래프를 그려서 생각하면 쉽게 해결할 수 있다.

$$|x^2 -3x-4|\leq 4\tag{2}$$

이처럼 미지수가 하나인 관계식은 미지수가 둘인 방정식으로 생각하면 좋다. 1차원 문제를 2차원 평면에 그려서 생각하면 매우 쉽게 이해할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 2차원 문제는 3차원으로 생각하면 좋지만 문제는 우리가 3차원을 생각만큼 쉽게 이해하고 있지 못하다. 그래서 3차원 문제도 2차원 평면에 그려서 해결한다. 3차원을 완벽하게 머릿속에 구현할 수 있다면 나아가 4차원을 쉽게 이해할 수 있는 뇌를 가졌다면 아마도 천재라는 소리를 듣고 살 것이다.^^