삼각비와 삼각함수::::수학과 사는 이야기

삼각함수엔 정말 많은 공식이 나온다. 모든 공식을 따로 외우기는 무척 어렵다. 역시 가장 좋은 것은 정의와 그에 따른 정리를 잘 이해하는 것이 좋다. 먼저 중학교에서 삼각비를 배운다.

삼각비는 왼쪽 그림에서와 같은 직각삼각형에서 정의한다.

$$\sin A= \frac{a}{h}$$

$$\cos A=\frac{b}{h}$$

$$\tan A=\frac{a}{b}$$

사인(sine)은 원의 현(弦, chord)과 관계 있다. 인도 천문학자가 현의 절반을 산스크리스트어 jya-ardha로 적었고, 간단하게 jya 또는 jiva로 적었다. 이를 옮긴 아랍 수학책은 jiba로 적었는데 이를 옮기던 사람이 jaib(자이브:옷의 주름, 바다의 만)으로 잘못 알고 sinus(라틴어 : 옷의 주름, 만)으로 옮겨 적었다. 아랍어는 모음을 쓰지 않고 자음만 적는다. 요즘 유행하는 초성 퀴즈를 생각하면 된다. jiba나 jaib나 jb로 적는데 이를 번역하는 사람이 실수할 가능성이 매우 크다.

sinus가 영어 sine로 바뀌었으니 어찌 보면 잘못된 이름을 쓰고 있는 셈이다. co-sine에소 co는 나머지(complementary)를 뜻한다. 나머지 각에 대한 사인이 바로 코사인(cosine)이다. 1620년 군터가 complementum sinus를 합친 co.sinus로 썼고 1658년에 뉴턴은 cosinus로 적었다. 1729년 오일러가 cos으로 적은 것이 오늘날까지 이어졌다.

탄젠트(tangent)는 만진다는 라틴말(tangens)에서 왔다. 사인이나 코사인처럼 각에 대한 함수가 아니라 어떤 물체의 그림자 길이에서 높이를 계산하는 데서 출발했다. 중세에는 움브라 렉타(umbra recta: 바른 그림자, 수직으로 세운 막대가 수평면에 드리우는 그림자)와 움브라 베르사(umbra versa: 반대 그림자, 수평으로 된 막대가 수직면에 드리우는 그림자)와 같이 그림자와 관련된 이름으로 불렸으며(이들 라틴어 이름도 아랍어 책을 번역하면서 만들어진 것이다), 이 개념을 접선의 기울기와 연관지어 탄젠트라고 부른 것은 덴마크 수학자 토마스 핀케(Thomas Fincke, 1561-1656)가 최초이다.

직각삼각형에서 정의한 삼각비는 예각일 때만 생각할 수 있다. 이 삼각비를 일반화하여 조금 더 쓸모 있는 함수로 만들기 위해 먼저 각을 일반화하고 새롭게 정의한다. 그것이 호도법 다시 말해 라디안(radian)이다. 반지름으로 호의 길이를 재는 것이 라디안(radius+angle)이다. 삼각비는 원에서 정의하기 시작했기에 삼각함수를 원함수로 부르기도 한다.

육십분법과 호도법

육십분법은 원 둘레를 360등분 했을 때 잘린 부채꼴 하나의 중심각을 $1^o$로 쓰는 것이다. 그런데 숫자로 같은 1이라고 쓰지만 길이에서 쓰는 $1$과 다르다. 다르게 이야기하면 육십분법으로 적은 수는 실수가 아니다. 이제 각을 길이로 나타내 보자.

1라디안은 반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기다.

이렇게 하면 각을 길이로 재는 것이 되므로 각의 크기가 실수가 된다. 따라서 각을 나타내는 단위를 쓰지 않아도 된다. 실수에서 실수로의 함수를 정의하기 위해 피할 수 없다. 처음엔 어려워 보이지만 각을 라디안으로 나타내는 것이 훨씬 편하다. 반지름이 $r$이고 중심각이 $180^o $인 부채꼴은 호의 길이가 $\pi r$이므로 아래와 같은 육십분법과 호도법 사이의 관계를 얻는다.

$$180^o =\pi(radian)$$

http://en.wikipedia.org/wiki/Radian

호도법으로 각을 나타내면 모든 것이 간단해진다. 반지름의 길이가 $r$, 중심각 크가가 $\theta$인 부채꼴 $OAB$에서 호 $AB$의 길이를 $l$, 넓이를 $S$라고 하자. 호의 길이와 넓이는 모두 중심각에 비례한다.

$$l:2\pi r =\theta:2\pi$$

$$\therefore \; l=r\theta$$

$$S:\pi r^2 =\theta:2\pi$$

$$\therefore\;S=\frac{1}{2}r^2 \theta=\frac{1}{2}rl$$

일반각

$0^{o}$와 $360^{o}$ 사이의 각만을 쓰는 것은 불편하다. 삼각비를 삼각함수로 넓혀가기 위해선 각을 일반화하여야 한다. 이를 위해 각을 새롭게 정의하기로 하자.

평면 위의 두 반직선 $OX$와 $OP$에 의하여 $\angle XOP$가 정해진다. 이제 $\angle XOP$의 크기를 반직선 OP가 고정된 반직선 OX에서 시작하여 점 $O$를 중심으로 회전한 양으로 정의한다. 이 때, $\overrightarrow{OX}$를 시초선, $\overrightarrow{OP}$를 동경으로 부른다.(참고 : 동경은 radius vector를 번역한 것으로 한자로는 動徑이라고 쓴다. 수학사랑)

동경 $\overrightarrow{OP}$가 회전하는 방향은 둘이 있다. 시계 바늘과 반대 방향으로 회전할 때 양의 방향, 같은 방향으로 회전할 때 음의 방향으로 회전한다고 한다. 또, 각의 크기는 동경의 회전 방향에 따라서 양의 각과 음의 각으로 나타낸다.

시초선 $\overrightarrow{OX}$는 고정되어 있으므로 $\angle XOP$의 크기가 주어지면 동경 $\overrightarrow{OP}$의 위치는 하나도 정해진다. 그러나 동경 $\overrightarrow{OP}$의 위치가 주어질 때, 각 $\angle XOP$의 크기는 하나로 정해지지 않는다.

일반적으로, $\angle XOP$의 크기 가운데 하나를 $\alpha^{o}$라고 할 때, 동경 $\overrightarrow{OP}$가 나타내는 각의 크기는

$$360^{o} \times n +\alpha^{o}\;\;\;(n \in \mathbb{Z})$$

로 나타낼 수 있다. 이것을 동경 $\overrightarrow{OP}$가 나타내는 일반각이라고 한다.

일반각을 라디안으로 적으면 아래와 같다.

$$2n\pi +\theta\;\;\;(n \in \mathbb{Z})$$

이 때, $\theta$는 $0 \leq \theta < 2\pi$ 또는 $-\pi<\theta \leq \pi$인 것으로 적는 것이 다루기 좋다.

원점을 각의 꼭짓점으로 시초선을 $x$축 양의 방향으로 잡았을 때, 동경이 위치하는 사분면에 따라 각각 제 $n$ 사분면($n=1,2,3,4$)의 각으로 부른다.

삼각함수(Trigonometric function)

그림과 같은 원에서 삼각함수를 아래와 같이 정의한다.

$$\sin\theta=\frac{y}{r}$$

$$\cos\theta=\frac{x}{r}$$

$$\tan\theta=\frac{y}{x}$$

반지름이 1인 단위원이라면

$$\sin\theta=y, \;\; \cos\theta=x, \;\; \tan\theta=\frac{y}{x}$$이다. 이렇게 하면 모든 일반각에 대한 삼각함수 값을 정할 수 있다. 다시 말해 실수에서 실수로의 함수를 정의할 수 있게 되었다.

삼각함수는 각의 동경이 위치하는 사분면에 따라 부호가 결정된다. 예를들면, 반지름이 $1$인 단위원과 동경이 만나는 점$P(x,y)$라고 할 때, 제 $2$ 사분면에서는 $x<0,y>0$이므로 $\sin \theta >0,\;\; \cos \theta <0,\;\; \tan \theta <0$이다. 정리하면 아래 그림과 같다.

삼각함수는 원함수로 부르기도 한다. 삼각함수 문제에 원이 자주 등장하는 까닭이다. 삼각함수들의 역수도 모두 이름을 따로 붙여 부른다.

$$cosec\theta=\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}$$

$$\sec\theta=\frac{1}{\cos \theta}$$

$$\cot\theta=\frac{1}{\tan \theta}$$

삼각함수는 서로 아주 밀접한 관계가 있다. 다음을 확인해 보자.

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

$$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1,\;\;\tan^2 \theta +1=\sec^2 \theta,\;\;1+\cot^2 \theta= \csc^2 \theta$$

동경이 이루는 위치관계를 확인하면 아래와 같은 공식을 쉽게 이해할 수 있다.

1) $\sin (-\theta)=-\sin\theta,\;\;\cos(-\theta)=\cos \theta,\;\; \tan(-\theta)=-\tan \theta$

2) $\sin (2n\pi+\theta)=\sin\theta,\;\;\cos(2n\pi+\theta)=\cos \theta,\;\; \tan(n\pi+\theta)=\tan \theta$

3) $\sin (\pi+\theta)=-\sin\theta,\;\;\cos(\pi+\theta)=-\cos \theta,\;\; \tan(\pi+\theta)=\tan \theta$

$\sin (\pi-\theta)=\sin\theta,\;\;\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta,\;\; \tan(\pi-\theta)=-\tan \theta$

4) $\displaystyle{\sin (\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta,\;\;\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin \theta,\;\; \tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\cot \theta}$

$\displaystyle{\sin (\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta,\;\;\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin \theta,\;\; \tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot \theta}$

위 공식들은 $\displaystyle{0<\theta<\frac{\pi}{2}}$로 생각하고 삼각함수의 부호를 따지면 쉽게 외울 수 있다.

이제 사인함수의 그래프를 그려보자.

아래 그림과 같이 호의 길이에 따른 함숫값을 좌표 평면에 옮겨 그릴 수 있다.