수학은 식으로 만든다.::::수학과 사는 이야기

수와 문자 그리고 변수(variable)

수학 책에는 숫자만큼이나 많은 문자가 등장합니다. 아니 어쩌면 숫자보다 문자가 더 많이 등장하는데 식에 쓰인 문자를 제대로 파악하지 못해 수식을 이해하지 못하는 일이 많습니다. 문제에 주어진 수식을 제대로 이해하지 못하면 문제해결은 더욱 어렵습니다. 그런 어려움을 겪는 이들을 위해 문자 특히, 변수에 대해 정리해둡니다.

수학에서 임의의 수나 알려지지 않은 수(미지수)를 나타낼 때, $a,b,c, x,y,z, \cdots$와 같이 문자로 씁니다. 어떤 문자는 단순하게 숫자 하나를 대표하지만 어떤 문자는 정해진 집합에 있는 여러 원소를 대표합니다. 예를 들면 이차방정식 $ax^2 +bx+c=0$에서 $a,b,c$는 단순하게 주어진 방정식 항의 계수를 대표하고 있지만 $x$는 해를 구하는 범위 안에서 정해지는 숫자들을 대표하고 있습니다. 보통 후자를 변수(variable)로 부릅니다.(데카르트께서 상수를 $a,b,c, \cdots$로 미지수는 $x,y,z, \cdots$로 쓰기 시작했다고 알고 있습니다.)

이제 $y=f(x)$꼴로 적은 방정식을 살펴봅시다. 실수($\mathbb{R}$)에서 방정식 $y=2x+3$의 해를 생각하면 그래프는 직선이 됩니다. $x,y$는 실수 전체를 대표하는 변수입니다. 때로는 직선의 방정식을 1차 함수를 나타내는 식으로 보기도 합니다. 어떤 방정식을 함수를 나타내는 것으로 볼 때는 문자 사이에 종속관계가 생겨납니다. $y=2x+3$을 $y$를 $x$가 정해지면 따라서 정해지는 변수로 볼 수 있습니다. 이때, $x$는 독립(independant) 변수 $y$를 종속(dependant) 변수로 작게 나누기도 합니다. 물론 $\displaystyle{x=\frac{y-3}{2}}$로 정리하여 반대로 생각할 수도 있습니다. 이처럼 식을 이해할 때 변수 개념이 큰 도움을 줍니다.

바이어스트라스는 “$x$가 끝없이 $a$에 가까이 갈 때, $f(x)$는 끝없이 $L$에 가까워진다.”는 함수의 극한을 아래와 같이 변수를 써서 엄밀하게 표현하였습니다.

$$\forall \: \epsilon >0,\: \exists \delta >0, |x-a|< \delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

때에 따라서 두 변수의 종속을 따지지 않는 것이 편하기도 합니다. 굳이 두 변수 사이 관계를 따지지 않을 때 방정식은 $f(x,y)=0$꼴로 적습니다. 예를 들면 $y=2x+3$은 $2x-y+3=0$으로 쓰기도 합니다. 마찬가지로 $x^2 -y=0$, $\; x-y^2 =0$처럼 적습니다. 여기서 다시 두 변수를 함수 관계로 따지고 싶을 때, 앞에 것은 $y=x^2$으로 생각하면 되지만 뒤에 있는 것은 $y=\pm \sqrt{x}$로 되어 깔끔하지 않고 $x$에 $y$가 둘이나 대응되므로 함수 관계도 아닙니다. 이때, 두 함수 $y=\sqrt{x}$와 $y=-\sqrt{x}$가 함께 숨어 있다는 뜻에서 $x-y^2 =0$을 음함수(implicit function)으로 부릅니다. 이제 함수 관계가 잘 드러나지 않는 음함수 표현을 피해 또렷하게 드러나는 양함수(explicit function)로 표현하고 싶습니다. 어떻게 하면 좋을까요? 두 변수 사이에 변수를 하나 더 넣어서 표현해 주는 방법이 있습니다.

$$x=t^2 , \;\;y=t$$

두 변수 모두 $t$에 의해 결정되는 양함수로 잘 표현되었습니다. 이렇게 중간에서 두 변수를 이어주는 변수를 매개변수(parametric variable)로 부르고 이렇게 적은 식은 매개변수 방정식으로 부릅니다. 매개변수는 복잡한 곡선을 나타내는 방정식을 깔끔하게 만들어 주기 때문에 미적분과 같이 복잡한 계산을 할 때 큰 도움을 줍니다.

원의 방정식 $x^2 +y^2 =r^2$은 동경이 $x$축과 이루는 각 $\theta$를 매개변수로 하여