매개변수

매개(parameter)는 그리스말에서 왔다. "para( παρά )"는 "옆에, 부가적인"을 뜻하고 "meter(μέτρον)"는 "측정하는"을 뜻한다. 수학 뿐만아니라 과학, 컴퓨터, 논리학 따위에서 특별한 체계를 정의할 때, 측정에 도움을 주는 요소을 뜻한다. 수학에서는 두 변수 사이에 들어가 서로 관계를 이어주는 변수를 매개변수로 부른다. 매개변수로 나타내면 식을 더욱 명확하게 표현할 수도 있으므로 복잡한 문제를 해결할 때 매개변수를 써서 쉬운 풀이를 찾기도 한다.

아래 곡선은 반지름이 $r$인 원이 구를 때 원 위의 한 점이 그리는 자취이다. 이름은 사이클로이드(cycloid)이다.

이 곡선 위의 점의 위치 $(x,y)$를 시각 $t$를 매개변수로 하여

$x=r(t-\sin t),\; y=r(1-\cos t)$로 간단하게 표현할 수 있다.

처음 듣는 이도 알고 보면 이름만 몰랐을 뿐, 이미 문제 풀이에 매개변수를 잘 쓰고 있을 것입니다. 아래 문제를 풀어봅시다.

문제 : 점 $A(3,-2)$와 직선 $l:2x-4y+3=0$ 위를 움직이는 점 $P$를 이은 선분 $\overline{AP}$를 $1:2$로 내분하는 점의 자취의 방정식을 구하여라.

풀이보기

자취를 구하는 문제는 구하려는 점을 $(x,y)$로 놓고 시작한다.

이 문제에서 구하려는 점 $Q(x,y)$로 직선 $l$ 위의 점은 $P(a,b)$로 놓는다.

점 $Q(x,y)$는 선분 $\overline{AP}$를 $1:2$로 내분하므로

$\displaystyle{x=\frac {a+6}{3}, \; \frac{a-4}{3}}$이다.

$a=3x-6,\; b=3y+4$

점 $P$는 직선 $l$ 위의 점이므로 $2a-4b+3=0$이다. 

따라서 $2(3x-6)-4(3y+4)+3=0$

그러므로 구하는 자취는 $6x-12y-25=0$이다.

풀이에서 보듯이 어떤 문자 사이의 관계를 바로 따지기 어려울 때는 매개변수를 써서 표현하면 쉽게 해결할 수 있다.