함수의 역사

함수(function)가 수학에 등장한 것은 생각보다 오래되지 않았다. 1673년 라이프니츠(Gottfried Leibniz)는 곡선과 관련된 변량을 기술하기 하기 위해 함수를 쓰자고 주장했다. 라이프니츠가 생각한 함수는 오늘날 도함수로 부른다. 변화량에 대한 변화량 사이 관계를 측정하는 함수는 미적분의 뿌리가 된다. 다음으로 베르누이(Johann Bernoulli)는 변수와 상수로 표현하였고, 오일러(Leonhard Euler)는 오늘날 쓰고 있는 $f(x)$로 표현했다.

퓨리에(Fourier ), 코시( Cauchy), 로바체프스키(Nikolai Lobachevsky), 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet), 데데킨트(Dedekind)를 거치며 오늘날 우리가 배우는대로 함수가 정의되었다. 대수와 기하에서 시작한 수학을 함수로 새로 쓰기 시작하면서 혁명이 일어났다. 요즘은 수학뿐만 아니라 다른 분야에 있는 어떤 것도 함수로 나타내려 하고 있다. 우리 머리를 아프게 하는 수많은 그래프는 함수의 그래프가 많으므로 그래프가 싫은 사람은 라이프니츠가 미울 것이다. 하지만 함수가 없었다면 우리 주위에 있는 많은 물건 가운데 적어도 $\displaystyle{\frac{3}{4}}$은 없었을 것이다. 손에 쥐고 즐기는 스마트폰은 400년 뒤에나 볼 수 있을 것이다.

함수를 배우면서 만나는 아주 낯익은 그림이다. 'function'이 한자로 '함수(函數)'으로 옮긴 사람은 이선란이다. 우리가 쓰고 있는 많은 수학 용어는 이선란이 옮긴 말이다. 함수라는 이름도 아래 오른쪽에 보이는 상자(函)를 생각해서 붙인 이름일 것이다.

이선란은 "이 변수가 저 변수를 포함한다면, 이는 저의 함수이다. (凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數)"로 적었다. 위키피디아

 

함수는 정의역(domain) 원소에 공역(codomain)에 있는 원소가 하나씩 잘 대응된 관계를 말한다.

칸토어 이후로 집합이 대세가 되었다. 함수도 아래와 같이 집합으로 엄밀하게 정의한다.

정의 

두 집합 $X$와 $Y$의 원소 사이에 관계 $f$가 아래를 만족하면 함수라고 한다.

1. $\forall\;\;x \in X$에 대하여  $y=f(x)$인 $y \in Y$가 반드시 존재한다.

2. $x_1 ,x_2 \in X$일 때, $x_1 =x_2$이면 $f(x_1 )=f(x_2)$이다.

표기

기호로는 $f:X\rightarrow Y$또는 $\mathbf{X}\stackrel{f}{\rightarrow} \mathbf{Y}$로 쓴다. 가장 많이 쓰는 표기는 오일러가 만든 $y=f(x)$이다.

함수를 어떻게 표시해야 하는가를 두고 대답하기 어려운 질문이 있다. 함수 $f$, 함수 $f(x)$, 함수 $y=f(x)$ 어떤 것을 써야 옳은가? 대학 때 교수님이 하신 질문인데 아직도 명확한 답을 찾지 못했다. 책에는 함수 $f(x)$를 가장 많이 쓰고 있다. 하지만 이차함수 $y=x^2$에서 함수 $x^2$이라고 적으면 뭔가 상당히 어색하다. 따라서 정확하게 함수 $f(x)=x^2$으로 적거나 함수 이름만 쓸 때는 함수 $f$로 쓰는 것이 올바르다.

어떤 표기를 쓰던 함수 $f$와 함숫값 $f(x)$를 잘 구별해서 써야 한다. 이를 제대로 구별하지 않는 것은 정육점에 있는 고기를 자르는 톱날과 잘린 고기를 구별하지 않는 것과 같다. 공역의 부분집합 가운데 함숫값의 집합 $R=\{f(x)| x \in X \}$을 치역(range)으로 부른다.

함수의 그래프는 아래와 같이 집합으로 정의한다.

$$G=\{(x,f(x))| x\in X \}$$

함수는 보통 $f(x)=x^2$처럼 공식으로 적고 $! :\mathbb{N}\cup \{0 \} \rightarrow \mathbb{N}$와 같은 함수는 알고리즘으로 적는다.

$$n!=\cases{1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad if\;\;\; n=0\\(n-1)!\times n\quad \quad if\;\;\; n\geq1}$$

어떤 표기법으로 쓰던 함수와 함숫값이 잘 구별되도록 표현해야 이해하기 쉽다. 함수를 나타내는 식만 잘 이해해도 수학 문제는 절반쯤 해결한 것과 마찬가지다.

중학생이라면 아래 글도 참고해서 보면 좋을 것이다.

suhak.tistory.com/1184

함수를 나타내는 방법에 대한 생각