두 자연수가 서로소일 확률

임의로 고른 두 자연수가 서로소(relative prime)일 확률을 구할 수 있을까? 답은 구할 수 '있다'이다. 나름 재미있어서 정리해 둔다.

두 자연수 $A, B$가 서로소일 확률을 $P$라고 하자. 먼저 최대공약수가 $2$인 확률을 구해보자. 최대공약수가 $2$인 것은 두 수 $A,B$ 모두 $2$의 배수이고 $\displaystyle{\frac{A}{2},\frac{B}{2}}$는 서로소이다. 어떤 자연수가 $2$의 배수일 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이므로 최대공약수가 $2$일 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times P}$이다.

이제 두 자연수가 $n \in \mathbb{N}$을 최대공약수로 가질 확률을 $P(n)$으로 놓으면 $$P(n)=\frac{1}{n} \times \frac{1}{n}\times P=\frac{P}{n^2}$$

이다. 임의의 두 자연수는 늘 최대공약수를 가지므로 모든 자연수 $n$에 대하여 확률 $P(n)$의 합은 $1$이다. 

$$\sum_{n=1}^{\infty}P(n) = P \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1$$ 

$$\therefore \;\; P=\frac{1}{\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}}$$

문제는 무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}$의 값을 구하는 것이 되었다. 고등학교에선 이 무한급수가 수렴한다는 증명은 있지만 값을 구하지는 않는다. 이 무한급수의 값은 아래와 같은 방법으로 오일러가 구했다.

먼저, 사인함수를 테일러(맥클라인) 급수로 표현한다.

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

양변을 $x \not=0$으로 나누면

$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} +\cdots$$

이다. 한편, $\displaystyle{\frac{\sin x}{x}=0}$의 근을 생각하면 $x=\pm n \pi \;\;( n \in \mathbb{N})$이다. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1}$이므로 그래프를 대충 그리면 아래와 같다.

 

$$\frac{\sin x}{x} =\left(1-\frac{x}{\pi}\right) \left(1+\frac{x}{\pi}\right) \left(1-\frac{x}{2\pi}\right) \left(1+\frac{x}{2\pi}\right) \left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right) \cdots$$

$$\quad \quad=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{2^2 \pi^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{3^2 \pi^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{4^2 \pi^2}\right)\cdots $$

이제 우변의 전개식에서 $x^2$의 계수만을 따로 적으면

$$-\left(\frac{1}{\pi^2} +\frac{1}{2^2 \pi^2}+\frac{1}{3^2 \pi^2} +\frac{1}{4^2 \pi^2} +\cdots \right)=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

이다. 두 표현의 계수를 서로 비교하면

$$- \frac{1}{3!} =-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$이므로 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}$$

마지막으로 우리가 구하는 임의의 자연수가 서로소일 확률은 $\displaystyle{P=\frac{6}{\pi^2} }$이다.

 

오일러는 알면 알수록 정말 수학 잘하는 사람이다. 스위스 지폐에 얼굴을 넣을 만 하다. 이런 증명을 보고 있지만 할 말은 없고 그저 부러울 따름이다.

참고

함수 $\displaystyle{\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}}$를 리만 제타 함수로 부른다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem