무리수의 무리수 지수제곱은 무리수일까?

언뜻 생각하기에 무리수인 것 같다. 그러나 무리수가 아닌 경우가 있다는 것이 알려져 있다.

즉, $e^{\pi\sqrt{163}}$ 와 같은 수이다. $e^{\pi\sqrt{163}}$ 은 어떤 수일까? 무리수일까? 유리수일까? 정수일까? 세 무리수 $e,\pi,\sqrt{163}$이 결합된 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 은 무리수가 아니라 정수가 된다. 사실은 얼마나 놀라운 일인가. 인도의 수학자 Srinivasa Ramanujan (1888 - 1920)이 처음으로 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 이 정수가 될 것이라고 추측하였다. 

그리고 그는 이 수의 값을 $262,537,412,640,768,743.999999\cdots$이라고 하였다.

그런 뒤 1972년에 컴퓨터로 소수점 이하 2백만 자리까지 9가 계속 이어진다는 것을 확인하였다. 그러나 정수가 되기 위해서는 무한히 소수점 아래에서 9가 계속된다는 것을 밝혀야만 한다.

1974년 미국 애리조나 대학(University of Arizona)의 John, Brillo가 이 수가 $262,537,412,640,768,744$와 같다는 것을 증명하였다.