초월함수의 극한

삼각함수와 지수함수, 로그함수와 같은 함수를 초월함수로 부른다. 초월 함수는 대수함수(다항함수나 분수함수)와 달리 다루기 쉽지 않다.

삼각함수의 극한은 다른 꼭지에서 다루었으므로 여기선 지수함수와 로그함수만 적는다.

 참고 >>>>>>삼각함수의 극한  http://suhak.tistory.com/166

삼각함수의 극한

$$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}}=1$$

지수함수와 로그함수의 극한은 먼저 오일러 수($e$)를 알아야 한다.

 참고 >>>>>>오일러 수 http://suhak.tistory.com/6

오일러의 수

 

$f(x)=a^x\;\;(a>0,\;a\not=1)$의 극한을 생각해 보자.

1) $a>1$일 때, $a=1+h\;\;h>0$이라고 하자.

$a^n=(1+h)^n \geq 1+nh$

이므로 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}{a^x}=\infty}$이다.

2) $0<a<1$일 때, $\displaystyle{a=\frac{1}{t}}$이라고 하면 $t>1$이므로

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}{t^x}=\infty}$

$\displaystyle{\therefore\;\;\lim_{x\rightarrow \infty}{a^x}=\lim_{x\rightarrow \infty}{\left(\frac{1}{t}\right)^x}=0}$

 

지수함수의 극한은 아래를 써서 구한다.

$$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$

$$\lim_{x\rightarrow 1}x^{\frac{1}{x-1}}=\lim_{z\rightarrow 0}(1+z)^{\frac{1}{z}}=e \quad\quad(x-1=z)$$

먼저 $e$를 밑으로 하는 로그를 자연로그로 정의하고 밑을 생략하고 아래와 같이 적는다.

$$\log_{e}x=\ln x$$

로그함수는 연속이므로 아래 극한을 자연스럽게 구할 수 있다.

$$\lim_{x \rightarrow 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1$$

극한값 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x -1}{x}}$을 구해보자.

먼저 $a^x -1=z$로 놓으면 $x=\log_a (1+z)$이다.

$\displaystyle{\lim_{z\rightarrow 0}\frac{z}{\log_a (1+z)}=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{1}{z}\log_a (1+z)}=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\log_a (1+z)^{\frac{1}{z}}}=\frac{1}{\log_a e}=\ln a}$