하트곡선(cardioid)

반지름이 $a$인 두 원이 있다. 한 원을 고정하고 다른 원을 고정된 원 둘레를 따라 굴릴 때 구르는 원 위에 한 점이 그리는 자취는 하트 모양곡선(cardioid)이다. (참고 그리스말 : $\kappa\alpha\rho\delta\iota\alpha$(heart)에서 cardioid가 왔다.)

이를 매개변수로 나타내면 아래와 같다.

$$x = a (2\cos t - \cos 2 t), \;\; y = a (2\sin t - \sin 2 t)$$

이것을 오일러 공식을 써서 복소평면에 있는 곡선으로 나타내면 아래와 같다.

$$z = a (2e^{it} - e^{2it})=ae^{it}(2-e^{it})$$

$|z|=r$이라고 하자.

$$r^2 =z\overline{z}=a^2 e^{it}(2-e^{it})e^{-it}(2-e^{-it})=a^2 (4-2e^{it}-2e^{-it}+1)$$

정리하면

$$z\overline{z}-a^2 =2a^2 (2-e^{it}-e^{-it})=2a^2(1-e^{it})(1-e^{-it})$$

$$(z\overline{z}-a^2 )^2=4a^4(1-e^{it})^2 (1-e^{-it})^2$$

점 $(a, 0)$에서 맞닿아 있다고 할 때, 매개변수 $t$를 소거하면 아래와 같이 데카르트 좌표계의 방정식으로 표현할 수 있다.

$$(z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0$$

$$(x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0$$

이제 위에 주어진 곡선을 더 간단하게 다루기 위해 뾰족한 점이 원점이 되도록 $x$축 방향으로 $-a$만큼 평행이동한 곡선을 매개변수 방정식으로 적으면 아래와 같다.

$$x = a (-1 + 2\cos t - \cos 2 t), y = a (2\sin t - \sin 2 t)$$

배각 공식을 써서 아래와 같이 다시 적을 수 있다.

$$x=2a\cos t(1-\cos t),\;\;y=2a\sin t(1-\cos t)$$  

이를 복소평면에 있는 곡선으로 적으면 아래와 같다.

$$z = 2a(1-\cos t)e^{it}$$

이를 극방정식으로 나타내면 아래와 같다.

$$r=2a(1-\cos t)$$

잔에 담긴 커피에 빛을 비추면 아래 사진과 같이 사랑스러운 하트곡선이 나타난다.

소개팅 나가서 커피 마실 때 이야기해 보자. 결과가 좋다는 보장은 없다.

$$x=\cos\theta -\frac{1}{2}\cos\theta\cos 2\theta,\;\;y=\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta \sin 2\theta$$

포물선을 적당원 원에 대하여 대칭이동(반전: inversion)하면 심장곡선(cardioid)가 된다.

 

참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid