달력과 수학 이야기

지구는 스스로 돌면서 태양 둘레를 돈다. 다들 알고 있는 자전 주기를 1일이라 공전주기를 1년이라고 부른다. 달력에 따르면 한해는 365일이다. 그러나 다들 알고 있듯이 지구가 태양을 한 바퀴 도는 시간인 태양일은 이보다 조금 더 길다. 1900년엔 약 365.24219879일이었다고 한다. 그런데 태양일은 1000년에 약 0.00006일이 줄어들기까지 한다. 그러니 태양에 꼭 들어맞는 달력을 만드는 일이 생각보다 쉬운 일이 아니다.

한해에 비록 0.24219879이지만 100년을 모으면 무려 24일이나 되므로 그대로 365일짜리 달력만 쓴다면 겨울이었던 달이 가을이 될 수도 있다. 별 문제없는 이들도 많겠지만 농사짓는 이들에겐 이러면 곤란하다. 대제사장들 맘대로 윤달에 날짜를 끼워 넣었던 로마에서는 실제로 달력이 태양력과 무려 석 달이나 차이가 나기도 했다고 한다. 이런 어지러움을 없애려고 카이사르는 B.C. 46년을 445일로 만들었다.

그는 1년을 365.25일로 고정하고 4년마다 윤년을 두어 366로 하고 나머지는 365일로 하도록 하였다. 홀수 달(1, 3, 5, 7, 9, 11월)은 31일로 짝수 달은 30일로 2월은 29일로 하도록 하였다. 참고로 로마 달력은 3월 1일에 시작했었는데 9월(September-7번째 달), 10월(October-8번째 달), 11월(November), 12월( December) 달 이름에 흔적이 남아있다.

이제 조금 복잡해보이지만 간단한 수학을 해보기로 하자.

달력 1년에 조금 남는 태양력 0.24219879를 소수점 아래 다섯자리까지 구하면 0.24220인데 이를 번분수로 나타내면 아래와 같다.

$$0.24220=\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cdots}}}}$$

차례로 계산을 해보면 아래와 같다.
$$\frac{1}{4}$$
$$\frac{7}{29}=\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{7}}$$
$$\frac{8}{33}=\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1}}}$$
$$\frac{31}{128}=\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3}}}}$$

4년에 1번씩 윤년을 두는 율리우스력보다 29년에 7번을 두는 것이 더 정확하고 33년에 8번을 두는 것이 좋지만 윤년 규칙을 정하기가 불편하다. 그래서 오늘날 우리가 쓰는 그레고리력은 율리우스력을 보완해 400년에 윤년이 100번이 아닌 97번이 되도록 만들었다.

100의 배수가 되는 해는 4의 배수이지만 평년으로 하고 100의 배수 가운데 400의 배수가 되는 해는 윤년으로 하기로 했다. 2100년은 평년이고 2400년은 윤년이다. 그래도 차이나는 것은 4000으로 나누어떨어지는 해를 평년으로 하기로 해서 바로잡는다.

참고 "시간의 문화사" 1998년 영림카디널.