지니계수 0.317

지난해 우리나라 지니계수는 0.317이라는 ‘한겨레21’ 기사를 보았다. 때마침 수학 문제를 풀다가 지니계수를 묻는 문제가 있어 찾아보았다.  위키디피아를 뒤적거리니 아주 잘 나와 있다. 이탈리아의 통계학자인 코라도 지니(Corrado Gini)가 만든 지니계수는 1912년 논문 "Variabilità e mutabilità" 에 실렸다. 어찌 보면 아주 간단하니 수학이다 생각하지 말고 공부해 보자.

어떤 사회에 있는 이들을 벌어들이는 돈에 따라 한 줄로 세운다. 가로로는 벌이가 작은 사람들부터 사람 수를 더한 값을 매기고 세로로는 벌이를 모두 더한 값을 매겨 점을 찍는다. 이 점들을 이은 선을 로렌츠 곡선이라고 부른다.

모든 이들이 똑같은 소득을 올린다면 완전 평등을 나타내는 직선이 된다. 이 직선과 로렌츠 곡선 사이의 넓이(A)가 삼각형 넓이(A+B)에서 차지하는 비율을 지니계수라고 한다. 다시 말하면 `\frac{A}{A+B}`이다.

이것을 어려운 수학으로 나타내면 로렌츠 곡선을 `y=f(x)`라고 할 때, 지니계수 `G`는
$$G=2\int_{0}^{1}{ x-f(x) }dx$$이다.

지니계수는 0과 1사이의 값을 가진다고 하니 0.317이면 평등하다고 할 수 있을까?

로렌츠 곡선이 `f(x)=x^2`이라고 한다면 `f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}`이다. 이것은 하위 `\frac{1}{2}`까지 소득 합이 `\frac{1}{4}`이고 상위 `\frac{1}{2}`의 소득 합은 `\frac{3}{4}`임을 말한다.

`f(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2}`이므로 하위 70%가 가진 것과 상위 30%가 가진 것이 같다고 볼 수 있다. 이쯤이면 많이 불평등하다고 볼 수 있다. 이 때 지니계수는 `G=2\int_{0}^{1} (x-x^2 ) dx= \frac{1}{3}` 약 0.333이다. 0.333이라고 하더라도 꽤 큰 수라는 걸 알 수 있다.

한두 사람이 모든 부를 가지고 있는 사회라야 1이라는 지수가 나온다. 기사를 보니 아무리 불평등한 사회라도 0.6을 넘는 일이 없고 아주 평등한 사회도 0.2쯤은 나온다고 한다. 보통 0.35를 넘으면 아주 불평등한 사회라고 한단다. 아직은 아주 불평등하진 않은 것을 다행으로 여기며 살아야 할까?