역삼각함수 그리고 삼각치환

아래와 같이 삼각함수의 정의역을 알맞게 정해주면 1-1 대응 함수로 생각할 수 있다.

이렇게 정의역을 축소한 삼각함수는 역삼각함수가 존재한다.  $\sin^{-1}x$는 $arcsin x$로 적고 아크사인으로 읽기도 한다.

역삼각함수의 미분

역함수의 미분법으로 역삼각함수를 미분해 보자.

$$y=\sin^{-1}x$$

$$\sin y =x$$

$$\cos y \frac{dy}{dx}=1$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}x)}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}$$

같은 방법으로 구한 역삼각함수의 도함수를 정리하면 아래와 같다.

$$\frac{d}{dx} \sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}$$

$$\frac{d}{dx} \cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}$$

$$\frac{d}{dx} \tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2 }$$

$$\frac{d}{dx} \csc^{-1}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 -1 }}$$

$$\frac{d}{dx} \sin^{-1}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 -1 }}$$

$$\frac{d}{dx} \cot^{-1}x=-\frac{1}{x^2 +1}$$

삼각치환을 이용한 적분

역삼각함수의 도함수를 잘 활용하면 어려운 부정적분을 쉽게 구할 수 있다. 피적분함수가 $\sqrt{a^2-x^2},\;\;\sqrt{a^2 +x^2},\;\;\sqrt{x^2 -a^2}$을 포함하고 있다면 삼각함수를 이용하여 치환한다.

위에서 밝혔듯이 역삼각함수의 정의역을 생각하면서 정리해 보자.

예제 아래와 같은 부정적분을 구해보자.

$$\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

풀이 먼저 $x=3\sin \theta$로 놓으면 $$\theta=\sin^{-1}\frac{x}{3}$$ 아크사인 함수의 치역은 $-\pi/2<\theta< \pi/2$이므로 $\cos \theta>0$이다. $dx=3\cos \theta d \theta$이므로 주어진 식을 치환하여 정리하면

$$=\int\frac{\sqrt{9(1-\sin^2 \theta)}}{9\sin^2 \theta} 3\cos\theta d \theta$$

$$=\int \cot^2 \theta d \theta=\int (\csc^2 \theta -1)d \theta=-\cot\theta -\theta+C$$

위에 주어진 직각삼각형에서 $$\cot\theta =\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$$이다.

그러므로 

$$\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}-\sin^{-1}\frac{x}{3}+C$$ 

이다. 이처럼 삼각치환을 잘 활용하면 구할 수 있는 부정적분의 범위가 아주 넓어진다.