월드컵 공은 둥글지 않다_텔스타 18

수학이야기 2018. 6. 28. 11:19
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축구 보다가 수학 공부를 한다. 올해 월드컵에 쓰는 공은 '텔스타 18'이다. 1970년 멕시코 월드컵에서 썼던 공과 이름이 같다. 텔스타는 '텔레비젼(Television)'과 '별(star)'이 더해진 말이다. 처음으로 인공위성으로 중계 방송을 시작하게 됨을 기리기 위해 붙인 이름이다. 아디다스에서 만든 텔스타는 정이십면체를 깍아서 12개 정오각형과 20개 정육각형을 면으로 가진 32면체다. 흑백 시대였던 그 시절 정오각형에는 검은 색을 넣어 눈에 확 띄는 디자인으로 바람을 일으켰다.   

 

정20면체
정20면체를 깍은 32면체

 

이름이 같으니 당연히 디자인도 같을 것으로 생각했는데 올해 쓰는 공은 가죽 여섯 조각을 이어 붙여서 만든다고 한다. 저 복잡한 조각을 어떻게 만들었을까 궁금하지 않은가? 검색하면 다 나올 줄 알았는데 잘 찾아지지 않는다. 구면 테셀레이션과 연관 있을 것으로 생각하고 위키백과를 뒤져 보니 알겠다. 

정육면체를 깎거나 늘려서 만든 'Rhombicuboctahedron'을 바탕으로 만들었다. 

 

 

그림으로는 쉽지만 아주 간단하지는 않다. 먼저 모든 면이 합동인 마름모로 만들어진 12면체(Rhombic dodecahedron)와 정6면체를 더해서 만든다.

 

그림에서 빨간 정사각형은 그대로 두고 파란 정사각형은 2등분 노란 정삼각형은 3등분된 부분이 포함된 다각형을 이어서 만든다.

 

위키백과에 있는일부분을 우리말로 옮겨 본다. 

아르키메데스 입체는 13개다.(elongated square gyrobicupola는 세지 않고 거울에 비친 모양인 켤레( enantiomorphs) snub cube and snub dodecahedron까지 따로 세면 15개다.)

어떤 꼭짓점에서 만나는 정다각형의 꼭짓점 모양(vertex conf) 은 아래 그림과 같다. 보기를 들면 vectec conf(4,6,8)은 한 꼭짓점에서 정사각형, 정육각형 그리고 정팔각형이 만난다.(차례는 시계방향을 따른다,).

Name
(Alternative name)
Schläfli
Coxeter
Transparent Solid Net Vertex
conf./fig.
Faces Edges Vert. Volume
(unit edges)
Point
group
Sphericity
truncated tetrahedron t{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Truncated tetrahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron truncated 4a max.png Polyhedron truncated 4a net.svg 3.6.6
Polyhedron truncated 4a vertfig.png
8 4 triangles
4 hexagons
18 12 2.710576 Td 0.7754132
cuboctahedron
(rhombitetratetrahedron)
r{4,3} or rr{3,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Cuboctahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron 6-8 max.png Polyhedron 6-8 net.svg 3.4.3.4
Polyhedron 6-8 vertfig.png
14 8 triangles
6 squares
24 12 2.357023 Oh 0.9049973
truncated cube t{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Truncated hexahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron truncated 6 max.png Polyhedron truncated 6 net.svg 3.8.8
Polyhedron truncated 6 vertfig.png
14 8 triangles
6 octagons
36 24 13.599663 Oh 0.8494937
truncated octahedron
(truncated tetratetrahedron)
t{3,4} or tr{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Truncated octahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron truncated 8 max.png Polyhedron truncated 8 net.svg 4.6.6
Polyhedron truncated 8 vertfig.png
14 6 squares
8 hexagons
36 24 11.313709 Oh 0.9099178
rhombicuboctahedron
(small rhombicuboctahedron)
rr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Rhombicuboctahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron small rhombi 6-8 max.png Polyhedron small rhombi 6-8 net.svg 3.4.4.4
Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.png
26 8 triangles
18 squares
48 24 8.714045 Oh 0.9540796
truncated cuboctahedron
(great rhombicuboctahedron)
tr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Truncated cuboctahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron great rhombi 6-8 max.png Polyhedron great rhombi 6-8 net.svg 4.6.8
Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig light.png
26 12 squares
8 hexagons
6 octagons
72 48 41.798990 Oh 0.9431657
snub cube
(snub cuboctahedron)
sr{4,3}
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Snub hexahedron (Ccw)   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron snub 6-8 left max.png Polyhedron snub 6-8 left net.svg 3.3.3.3.4
Polyhedron snub 6-8 left vertfig.png
38 32 triangles
6 squares
60 24 7.889295 O 0.9651814
icosidodecahedron r{5,3}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Icosidodecahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron 12-20 max.png Polyhedron 12-20 net.svg 3.5.3.5
Polyhedron 12-20 vertfig.png
32 20 triangles
12 pentagons
60 30 13.835526 Ih 0.9510243
truncated dodecahedron t{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Truncated dodecahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron truncated 12 max.png Polyhedron truncated 12 net.svg 3.10.10
Polyhedron truncated 12 vertfig.png
32 20 triangles
12 decagons
90 60 85.039665 Ih 0.9260125
truncated icosahedron t{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Truncated icosahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron truncated 20 max.png Polyhedron truncated 20 net.svg 5.6.6
Polyhedron truncated 20 vertfig.png
32 12 pentagons
20 hexagons
90 60 55.287731 Ih 0.9666219
rhombicosidodecahedron
(small rhombicosidodecahedron)
rr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Rhombicosidodecahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron small rhombi 12-20 max.png Polyhedron small rhombi 12-20 net.svg 3.4.5.4
Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.png
62 20 triangles
30 squares
12 pentagons
120 60 41.615324 Ih 0.9792370
truncated icosidodecahedron
(great rhombicosidodecahedron)
tr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Truncated icosidodecahedron   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron great rhombi 12-20 max.png Polyhedron great rhombi 12-20 net.svg 4.6.10
Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig light.png
62 30 squares
20 hexagons
12 decagons
180 120 206.803399 Ih 0.9703127
snub dodecahedron
(snub icosidodecahedron)
sr{5,3}
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Snub dodecahedron (Cw)   Cog-scripted-svg-blue.svg Polyhedron snub 12-20 left max.png Polyhedron snub 12-20 left net.svg 3.3.3.3.5
Polyhedron snub 12-20 left vertfig.png
92 80 triangles
12 pentagons
150 60 37.616650 I 0.9820114

준정다면체(semiregular polyhedron)의 정의는 하나 이상의 모양을 포함하고 있다. 마름모 12면체를 잡아 늘인 다면체(elongated square gyrobicupola or "pseudo-rhombicuboctahedron")

 

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