2017학년도 수시모집 카이스트 면접문제

문제 1 좌표 평면 위에서 $0\leq a \leq9$인 모든 실수 $a$에 대해 두 점 $(a,0)$과 $(0,9-a)$를 잇는 선분을 모두 그렸을 때 적어도 하나 이상의 선분 위에 있는 모든 점들의 집합을 $D$라 하자.

(1) 이 선분이 $(1,4)$를 지나게 될 모든 $a$를 구하여라.

(2) 집합 $D$에 점 $(1,y)$가 포함될 $y$의 최댓값을 구하여라.

(3) $D$가 나타내는 도형의 넓이를 구하여라.

 

풀이  $x,y$절편이 각각 $(a,0),(0,9-a)$인 직선의 방정식은

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{9-a}=1$$  이다.

 

그림으로 나타내면 집합 $D$는 위 그림에서 1사분면에 있는 영역이다.
먼저 1)에서 점 $(1,4)$를 지난다고 하면

$$\frac{1}{a}+\frac{4}{9-a}=1$$  

$$9-a+4a=a(9-a)$$

$$a^2 -6a+9=0\;\; \therefore a=3$$

2)에서 점 $(1,y)$를 지난다고 하면

$$\frac{1}{a}+\frac{y}{9-a}=1$$  

$$9-a+ya=a(9-a)$$

$$y=9-a+\frac{a-9}{a} =10-a- \frac{9}{a} =10- \bigg( a+ \frac{9}{a}\bigg) \leq 10-2 \sqrt {a \times \frac{9}{a}} =4$$

3) 그림에서 집합 $D$가 그리는 영역의 위쪽 경계는 $x=t$일 때 $y$의 최댓값을 구하면 알 수 있다.

$$\frac{t}{a}+\frac{y}{9-a}=1$$  

$$t(9-a)+ya=a(9-a)$$

$$y=9-a+\frac{t(a-9)}{a} =9+t-\bigg( a+ \frac{9t}{a}\bigg) \leq 9+t-2 \sqrt {a \times \frac{9t}{a}}=9+t-6\sqrt{t}$$

그러므로 경계는

$$y=9+x- 6 \sqrt{x} \;\;(0 \leq x \leq 9)$$

이다. 그러므로 영역의 넓이 $S$를 구하면 아래와 같다.

$$S= \int_{0}^{9}(9+x-6 \sqrt{x})dx= \bigg| 9x+ \frac{1}{2}x^2 -4x \sqrt{x} \bigg|_{0}^{9}= \frac{27}{2}$$

이 문제는 포락선(envelope) 문제로 해석할 수도 있다.

문제2 $N$개의 상자가 있고 각각의 상자에는 $N$개의 공이 들어있다. $k$번째 상자에는 빨간 공이 $k$개 파란 공 $N-k$개이다 .($k=1,2,3,\cdots,N$). 먼저 임의로 한 상자를 선택한다. 이 상자에서 임의로 공을 하나 선택하고 공의 색깔을 확인 후 상자에 공을 되돌려 넣는 시행을 $m$회 반복하였다. (상자는 다시 선택하지 않고 공만 $m$회 반복해서 선택한다.)

(1) $N=10$이고 $m=3$일 때 모두 빨간 공을 선택했을 확률은?

(2) $N=10$이고 $m=3$일 때 선택된 빨간 공의 수가 짝수(0 포함)일 확률은?

(3) 고정된 자연수 $m$에 대해서 선택된 빨간 공의 수가 짝수(0 포함)일 확률은 $P_N$이다. $N$이 한없이 커질 때 $P_N$은 어떤 값으로 수렴하는가?

 

풀이
1) $N=10,m=3$일 때 구하고자 하는 확률을 $P$라고 하고 $k$번 째 상자를 택했을 때, 빨간 공이 $n$개 나오는 사건의 확률을 $P_k(n)$이라고 하자.
모두 빨간 공이 나오는 사건의 확률은 $P_k(3)$라고 하자.
$k$ 번 째 상자에는 공 10개에서 빨간 공이 $k$개이므로 $\displaystyle{P_k(3)=\frac{1}{10}\bigg(\frac{k}{10}\bigg)^3}$이다.
구하고자 하는 확률은 합의 법칙에 따라

$$P= \sum _{k=1} ^{10} P_k (3)=\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{10} \bigg(\frac{k}{10}\bigg)^3 =\frac{1}{10^4} \sum_{k=1}^{10} k^3 = \frac{121}{400}$$

2) $m=3$일 때, 짝수인 경우는 0과 2이다.
복원추출하고 있으므로 독립시행의 확률로 계산하면 된다.
따라서 $k$번 째 상자에서 빨간 공의 수가 0 또는 2인 확률은
$$P_k (0)+P_k (2)=\frac{1}{10} \bigg( {}_{3} C _{0} \bigg( 1- \frac{k}{10}\bigg)^{3} + {}_{3} C _{2} \bigg( 1-\frac{k}{10} \bigg) \bigg(\frac{k} {10} \bigg)^{2} \bigg)$$
한편 $p= 1- k/10 ,q=k/10$이라고 놓고 이항정리를 활용하자.

$$(p+q)^3 = {}_3 C_0 p^3 + {}_3 C_1 p^2 q + {}_3 C_2 pq^2 + {}_3 C_0 q^3$$

$$(p-q)^3 = {}_3 C_0 p^3 - {}_3 C_1 p^2 q + {}_3 C_2 pq^2 - {}_3 C_0 q^3$$

에서 $$1+ \bigg( 1- \frac{k}{5}\bigg)^{3} =2( {}_{3} C _{0} p^{3} + {}_{3} C _{2} pq ^{2} )=20(P _{k} (0)+P _{k} (2))$$ 이다.
정리하면 $$P _{k} (0)+P _{k} (2)=\frac{1}{20}\bigg(1+ \bigg( 1- \frac{k}{5}\bigg)^{3} \bigg)$$ 이다.
따라서 구하는 확률은

$$\sum_{k=1}^{10}{\frac{1}{20}\bigg(1+ \bigg( 1- \frac{k}{5}\bigg)^{3} \bigg)}=\frac{1}{20}(10+(-1)^3 )=\frac{9}{20}$$
 이다.

3) 2)를 일반화하면 고정된 자연수 $m$에 대하여 빨간 공의 수가 짝수일 확률은 아래와 같다.

$$P_N=\sum _{k=1} ^{N}\frac{1}{2N} \bigg(1+ \bigg( 1- \frac{2k}{N}\bigg)^{m} \bigg)$$

이 수열의 극한값은 아래와 같이 정적분의 정의로 구할 수 있다.

$$\lim_{N\rightarrow\infty}P_N=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum _{k=1} ^{N}\frac{1}{2N} \bigg(1+ \bigg( 1- \frac{2k}{N}\bigg)^{m} \bigg)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-2x)^mdx$$

$1-2x=t$로 치환하면

$$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}(1+t^m)$$
이다.
$m$이 짝수이면 $\displaystyle{\frac{1}{2}\bigg(1+ \frac{1}{m+1}\bigg)}$이고  $m$이 홀수이면 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이다.

홀수와 짝수를 구별하지 않으려면 아래와 같이 정리하면 된다. $$\frac{1}{2}+\frac{1-(-1)^{m+1}}{4(m+1)}$$