평면 곡선 운동에 관하여

포물선 운동

질량 $m$인 물체를 속도 $\mathbf{v_0}$로 쏘아 올렸다. 이 물체는 어떻게 움직일까?

먼저 시각 $t$일 때, 위치벡터를 $\mathbf{r}$이라고 하자.

$t=0$일 때 속도벡터 $\mathbf{v_0}$와 지면이 이루는 각을 $\alpha$라고 하면 아래와 같은 식이 성립한다.

$${\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}=|{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}|\cos \alpha \mathbf{i}+|{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}|\sin \alpha \mathbf{j}$$

$${\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}$$

뉴턴 제2 운동법칙에 따라 물체가 받는 힘은 $F=m\mathbf{a}$이다. 한편 이 운동의 가속도는 중력가속도 $g$와 같다.

$$m\mathbf{a}=-mg\mathbf{j}$$

정리하면 아래와 같은 미분방정식을 얻는다.

$$\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}=-g\mathbf{j}$$

양변을 적분하자.

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-gt\mathbf{j}+C$$

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-gt\mathbf{j}+{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}$$

$$\mathbf{r}=-\frac{1}{2}g{t}^2\mathbf{j}+{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}t+{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}$$

$$\mathbf{r}=-\frac{1}{2}g{t}^2\mathbf{j}+|{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}|t\cos \alpha \mathbf{i}+|{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}|t\sin \alpha \mathbf{j}+{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}$$

$$\mathbf{r}=|{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}|t\cos \alpha \mathbf{i}+(|{\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}|t\sin \alpha \mathbf{-}\frac{1}{2}g{t}^2)\mathbf{j}+{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}$$

원운동

점 $P$가 반지름이 $r$인 원을 따라 운동하고 있다고 하자.

원운동을 하게 만드는 힘을 구심력이라 하자. 구심력을 구하기 위해 먼저 가속도를 구해보자. 

$$a=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{v}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathbf{v}(t)}{\mathrm{\Delta }t}$$

$t=0$일 때 속도는 $\mathbf{v_0}$라 하자.

그림에서 속도의 변화량 $\Delta \mathbf{v}=\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)$에 주목하자.

두 속도벡터 $\mathbf{v,v_0}$가 이루는 각은 두 벡터 $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OP_0}$가 이루는 각 $\Delta t$와 같다.

$\Delta t\rightarrow 0$일 때, $|\Delta \mathbf{v}|:|\mathbf{v}|$의 극한은 $\Delta s:|\overrightarrow{OP}|$의 극한과 같을 것이다.

$$\mathrm{\Delta }v:v\approx \mathrm{\Delta }s:r$$

$$\mathrm{\Delta }v:v\approx v\mathrm{\Delta }t:r$$

$$r\mathrm{\Delta }v\approx v^2\mathrm{\Delta }t$$

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{v^2}{r}$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v^2}{r}$$

$$a=\frac{v^2}{r}$$

이제 뉴턴 운동법칙에 따라 구심력을 구하면 된다.

$$F=ma=m\times \frac{v^2}{r}=\frac{m{v}^2}{r}$$

이제 위에 정리한 것을 벡터방정식에서 확인해 보자.

각속도 $\omega$로 움직인다면 위치벡터는 아래와 같다.

$$\mathbf{r}(t)=r\cos \omega t\mathbf{i}+r\sin \omega t\mathbf{j}$$

속도와 가속도 벡터는 아래와 같다.

$$\mathbf{v}(t)=-r\omega \sin \omega t\mathbf{i}+r\omega \cos \omega t\mathbf{j}$$

$$\mathbf{a}(t)=-r{\omega }^2\cos \omega t\mathbf{i}-r{\omega }^2\sin \omega t\mathbf{j}$$

$$|\mathbf{v}(t)|=v=r\omega ,|\mathbf{a}(t)|=a=r{\omega }^2$$

위에 있는 식 $\displaystyle{a=\frac{v^2}{r}}$이 성립함을 간단하게 알 수 있다. 이처럼 각속도가 일정 $\omega$하면 가속도는 구심력과 같은 방향이 된다. 각속도가 일정하지 않다면 조금 복잡하다.

운동을 수학으로 나타내는 방법에 관한 공부

위에 있는 연결고리를 참고하면 된다.

$$\mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}{a}_T=\frac{d^{2}s}{d{t}^2},a_N=\kappa (\frac{ds}{dt}{)}^2=\kappa |\mathbf{v}{|}^2$$

반지름이 $\rho$인 원의 곡률 $\kappa$는 $\displaystyle{\frac{1}{\rho}}$이므로 그림과 같이 가속도가 정해진다.

나선운동

원에 감긴 실을 팽팽하게 당기면서 풀었을 때 생기는 곡선 위에 있는 점 $P(x,y)$의 위치벡터는 아래와 같다.

$$\mathbf{r}(t)=(\cos t+t\sin t)\mathbf{i}+(\sin t-t\cos t)\mathbf{j}$$

가속도를 구해보자.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{v}& =\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(-\sin t+\sin t+t\cos t)\mathbf{i}+(\cos t-\cos t+\sin t)\mathbf{j}\\ & =(t\cos t)\mathbf{i}+(t\sin t)\mathbf{j}\\ |\mathbf{v}|& =\sqrt{t^2{\cos }^{2}t+t^2{\sin }^{2}t}=t\\ a_T& =\frac{d}{dt}|\mathbf{v}|=1\\ \mathbf{a}& =\frac{d\mathbf{v}}{dt}=(\cos t-t\sin t)\mathbf{i}+(\sin t+t\cos t)\mathbf{j}\\ |\mathbf{a}{|}^2& =t^2+1\\ a_N& =\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2-a_T^2}=\sqrt{(t^2+1)-1}=t\end{array}$$

$$\therefore \mathbf{a}=\mathbf{T}+t\mathbf{N}$$

 

공부를 할수록 벡터로 표현하는 즐거움을 알겠다.